专题01-2 将军饮马系列模型（几何最值模型）—中考数学重难点突破.

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专题01-2 将军饮马系列模型（几何最值模型）—中考数学重难点突破.

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2025-04-16

【“将军饮马”问题专练】

如图，四边形 $\text{[math]}$ 是矩形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P是边 $\text{[math]}$ 上一点（不与点A，D重合），连接 $\text{[math]}$ ．点M，N分别是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A. $\text{[math]}$ B. 3 C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题未知

如图，菱形 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 均在坐标轴上， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的一动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A. 3 B. 5 C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题未知

如图， $\text{[math]}$ ，点M、N分别在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，点P、Q分别在边 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题未知

如图， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是位于直线 $\text{[math]}$ 同侧的两个等边三角形，点 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点．若 $\text{[math]}$ ，则下列结论错误的是（）

A. $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ 周长的最小值为6 D. 四边形 $\text{[math]}$ 面积的最小值为 $\text{[math]}$

单选题未知

如图，四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形，延长 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 为菱形；

(2) 若 $\text{[math]}$ 是边长为2的等边三角形，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上运动，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

解答题未知

如图，抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．

(1) 求该抛物线的表达式；

(2) 若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求 $\text{[math]}$ 的最小值；

(3) 若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

解答题未知

【“将军遛马”和“将军过桥”问题专练】

如图，在矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，把边AB沿对角线BD平移，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别对应点A，B．给出下列结论：①顺次连接点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， C，D的图形是平行四边形；②点C到它关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点的距离为48；③ $\text{[math]}$ 的最大值为15；④ $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ．其中正确结论的个数是（）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

单选题未知

如图，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，线段 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上左右滑动；若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

填空题未知

如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点(不与端点重合)，若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最小值等于（）

A. 10 $\text{[math]}$ B. 10 $\text{[math]}$ C. 5 $\text{[math]}$ D. 5 $\text{[math]}$

单选题未知

如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， O为对角线 $\text{[math]}$ 的中点，点P在 $\text{[math]}$ 边上，且 $\text{[math]}$ ，点Q在 $\text{[math]}$ 边上，连接 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为， $\text{[math]}$ 的最小值为．

填空题未知

如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为．

填空题未知

如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， AH是 $\text{[math]}$ 的平分线， $\text{[math]}$ 于点E，点P是直线AB上的一个动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值是．

填空题未知

如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是直径 $\text{[math]}$ 上一动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值是．

填空题未知

(1) 【问题提出】如图1，点A、B在直线l的同侧，点A到直线l的距离 $\text{[math]}$ ，点B到直线l的距离 $\text{[math]}$ ， A、B两点的水平距离 $\text{[math]}$ ，点P是直线l上的一个动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值是；

(2) 【问题探究】如图2，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， G是 $\text{[math]}$ 的中点，线段 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上左右滑动，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值；

(3) 【问题解决】如图3，某公园有一块形状为四边形 $\text{[math]}$ 的空地，管理人员规划修两条小路 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ （小路的宽度忽略不计，两条小路交于点P），并在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上分别选取点M、N，沿 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 修建地下水管，为了节约成本，要使得线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之和最小．

已测出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，管理人员的想法能否实现，若能，请求出 $\text{[math]}$ 的最小值，若不能，请说明理由．

实践探究题未知

单选题 (共3题)

如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点M是 $\text{[math]}$ 边的中点，点N是 $\text{[math]}$ 边上任意一点，将线段 $\text{[math]}$ 绕点M顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，点N旋转到点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 周长的最小值为（）

A. 15 B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. 18

单选题未知

如图，在边长为6的正方形 $\text{[math]}$ 中，点E，F分别是边 $\text{[math]}$ 上的动点，且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点O，点M是 $\text{[math]}$ 的中点，G是边 $\text{[math]}$ 上的点， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A. 4 B. 5 C. 8 D. 10

单选题未知

如图， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是位于直线 $\text{[math]}$ 同侧的两个等边三角形，点 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点．若 $\text{[math]}$ ，则下列结论错误的是（）

A. $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ 周长的最小值为6 D. 四边形 $\text{[math]}$ 面积的最小值为 $\text{[math]}$

单选题未知

填空题 (共4题)

如图，已知 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 内部一点，点 $\text{[math]}$ 为射线 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ 为射线 $\text{[math]}$ 上的两个动点，当 $\text{[math]}$ 的周长最小时，则 $\text{[math]}$ ．

填空题未知

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上一动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

填空题未知

如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段 $\text{[math]}$ 在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 的值最小时，点C的坐标为．

填空题未知

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上一点，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的内心， $\text{[math]}$ 的延长线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一动点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

填空题未知

解答题 (共2题)

如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上一个动点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的垂直平分线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的最小值．

解答题未知

如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．已知点 $\text{[math]}$ 的坐标是 $\text{[math]}$ ，抛物线的对称轴是直线 $\text{[math]}$ ．

(1) 直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 在对称轴上找一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 的值最小．求点 $\text{[math]}$ 的坐标和 $\text{[math]}$ 的最小值；

(3) 第一象限内的抛物线上有一动点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴，垂足为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．依题意补全图形，当 $\text{[math]}$ 的值最大时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．

(4) 【问题情境】如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；

(5) 【操作实践】如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系；

(6) 【探究应用】如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转，他发现旋转过程中 $\text{[math]}$ 存在最大值．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 最大时，求AD的长；

(7) 如图6，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

实践探究题未知