模型解读

常见类型讲解

1、问题引入

2、如何作出费马点

3、模型证明

真题演练

巩固练习

压轴真题强化

皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．据说费马在提出“费马大定理”时，在笔记本上写道：我已经想到了一个绝妙的证明方法，但是这个地方不够写，我就不写了吧。然后，直到1995年，才由英国数学家怀尔斯证明出，而距离费马逝世，已经过去了330年。

费马点问题：是指在一个三角形中，找到一点，使其到三角形三个顶点的距离之和最小的问题。解决方法是通过旋转、对称等方法，将问题转化为“在直线上找一点，使其到两个定点的距离之和最小”的模型，进而求出最小值。

1、问题引入

问题：如图，在△ABC内部找到一点P ， 使得PA＋PB＋PC的值最小.

解答：若点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120º，则PA＋PB＋PC的值最小，P点称为三角形的费马点.

2、如何作出费马点

第一步：分别以AB、AC为边作等边△ABD与等边△ACE ，

第二步：连接CD、BE ， 即可得到△ADC≌△ABE ，  

第三步：此时CD、BE的交点即为点P（费马点），

第四步：以BC为边，作等边△BCF ， 连接AF ， AF必过点P ， 且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120º.

注：上述结论成立有个前提条件，△ABC中，最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，对应的图如下所示：

此时费马点就是最大角的顶点A ， 这种情况不会考，了解即可，接下来的研究，都是默认最大角小于120º.

3、模型证明

证明分两部分，一部分过三角形两条边向外作等边三角形，连接CD、BE ， 这两条线的交点为什么就是费马点？另一部分就是为什么费马点到对应顶点的连线之和是最小的.

如下图所示，在△AEB与△ACD中，

∵AB＝AD ， AE＝AC ， ∠BAE＝∠DAC＝∠BAC＋60º，

∴△ABE≌△ACD ， ∴∠ABE＝∠ADC ，

在△BPM与△DAM中，

∵∠BMP＝∠DMA ， ∴∠BPM＝∠DAM＝60º，∴∠BPC＝120º；

在PD上截取PG＝PB ， 连接PA、BG ， 如下图所示：

由题意可得△BPG为等边三角形，则PB＝BG ，

易证△ABP≌△DBG ， ∴PA＝GD ， ∠APB＝∠DGB＝120º，

∴∠APC＝120º，∴PA＋PB＋PC＝GD＋PG＋PC＝CD.

接下来只需证明CD为最短的线段，那么以上的问题都可以得证了！

如下图所示，在△ABC中任取一个异于点P的点Q ， 连接QA、QB、QC、QD ， 将△ABQ绕着点A顺时针方向旋转60º得到 ， 则△ABQ与重合，且在线段DQ上或DQ外，易证是等边三角形.

由题意可得

， 即CD为最短的线段.