专题03-2 费马点模型（几何最值模型）

已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果

是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足

．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若

填空题未知

如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，D为△ABC内部的一动点（不在边上），将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置，使点A到达点E的位置，连接AD，AE，AF，EF．

(1) 求证：△BDA≌△BFE；

(2) ①CD+DF+FE的最小值为 ▲ ；

②当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD∥BF．

(3) 如图2，M，N，P分别是DF，AF，连接MP，NP，请判断∠MPN的大小是否为定值．若是，求出其度数，请说明理由．

解答题未知

1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．

(1) 下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）

当 $\text{[math]}$ 的三个内角均小于 $\text{[math]}$ 时，

如图1，将 $\text{[math]}$ 绕，点C顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，

由 $\text{[math]}$ ，可知 $\text{[math]}$ 为 ① 三角形，故 $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ ，

由 ② 可知，当B，P， $\text{[math]}$ ， A在同一条直线上时， $\text{[math]}$ 取最小值，如图2，最小值为 $\text{[math]}$ ，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 $\text{[math]}$ ③ ；

已知当 $\text{[math]}$ 有一个内角大于或等于 $\text{[math]}$ 时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若 $\text{[math]}$ ，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．

(2) 如图4，在 $\text{[math]}$ 中，三个内角均小于 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，已知点P为 $\text{[math]}$ 的“费马点”，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知 $\text{[math]}$ ．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/ $\text{[math]}$ ， a元/ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 元/ $\text{[math]}$ ，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为元．（结果用含a的式子表示）

综合题未知

背景资料：在已知 $\text{[math]}$ 所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当 $\text{[math]}$ 三个内角均小于120°时，费马点P在 $\text{[math]}$ 内部，当 $\text{[math]}$ 时，则 $\text{[math]}$ 取得最小值．

(1) 如图2，等边 $\text{[math]}$ 内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求 $\text{[math]}$ 的度数，为了解决本题，我们可以将 $\text{[math]}$ 绕顶点A旋转到 $\text{[math]}$ 处，此时 $\text{[math]}$ 这样就可以利用旋转变换，将三条线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 转化到一个三角形中，从而求出 $\text{[math]}$ ；

(2) 知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与 $\text{[math]}$ 的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．

如图3， $\text{[math]}$ 三个内角均小于120°，在 $\text{[math]}$ 外侧作等边三角形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 过 $\text{[math]}$ 的费马点．

(3) 如图4，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P为 $\text{[math]}$ 的费马点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

(4) 如图5，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点E为内部任意一点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且边长 $\text{[math]}$ ；求 $\text{[math]}$ 的最小值．

阅读理解未知

单选题 (共1题)

如图，在 $\text{[math]}$ 中，P为平面内的一点，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A. $\text{[math]}$ B. 36 C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题未知

填空题 (共1题)

【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求平面上到这三个点的距离之和最短的点 $\text{[math]}$ 的位置，费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转60°得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ 为等边三角形，故 $\text{[math]}$ ，由旋转可得 $\text{[math]}$ ，因 $\text{[math]}$ ，由两点之间线段最短可知， $\text{[math]}$ 的最小值与线段 $\text{[math]}$ 的长度相等．

【解决问题】如图2，在直角三角形 $\text{[math]}$ 内部有一动点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．