模型解读

常见类型讲解    

1、模型建立    

2、轨迹证明    

3、最值问题解读    

4、区分胡不归模型和阿氏圆模型    

真题演练    

巩固练习    

压轴真题强化    

在平面上，到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上，即对于平面内的定点A、B，若平面内有一动点P满足PA:PB＝1，则P点轨迹为一条直线（即线段AB的垂直平分线），如果这个比例不为1，P点的轨迹又会是什么呢？两千多年前的阿波罗尼斯在其著作《平面轨迹》一书中，便已经回答了这个问题。本专题我们一起探究PA：PB＝k（k≠1）时P点的轨迹和阿氏圆相关的最值问题。

1、模型建立

如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P构成的图形为圆．

2、轨迹证明

首先了解角平分线定理和外角平分线定理：

1）角平分线定理

如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，则 ． 证明： ， ， 即

2）外角平分线定理

如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，则 ．

证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC，连接BD，则△ACD≌△AED（SAS），CD=ED且AD平分∠BDE，则 ， 即 ．

如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理， ， 故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点；

作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理， ， 故N点为定点，即∠APB外角平分线交直线AB于定点；

又∠MPN=90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆．

3、最值问题解读

如图1所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？

如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小（如图3）。

4、区分胡不归模型和阿氏圆模型

在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．