专题04-2 阿氏圆模型（几何最值模型）—中考数学重难点突破

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专题04-2 阿氏圆模型（几何最值模型）—中考数学重难点突破

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2025-04-16

如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．抛物线的对称轴 $\text{[math]}$ 与经过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求直线 $\text{[math]}$ 及抛物线的表达式；

(2) 在抛物线上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3) 以点 $\text{[math]}$ 为圆心，画半径为2的圆，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一个动点，请求出 $\text{[math]}$ 的最小值．

综合题未知

如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，分别以 $\text{[math]}$ 所在的直线为 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，连接 $\text{[math]}$ ，反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象经过线段 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，并与矩形的两边交于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ .

(1) 连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；

(2) 如图2，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转—定角度，使得点 $\text{[math]}$ 的对应点 $\text{[math]}$ 好落在 $\text{[math]}$ 轴的正半轴上，连接 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

综合题未知

【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．

【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知 $\text{[math]}$ ，连接PA、PB，则当“ $\text{[math]}$ ”的值最小时，P点的位置如何确定？

第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP；

第2步：在OB上取点C，使得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，构造母子型相似 $\text{[math]}$ ∽ $\text{[math]}$ （图2）；

第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）．

【问题解决】如图， $\text{[math]}$ 与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N， $\text{[math]}$ 半径为3，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，点P在弧MN上移动，连接PA，PB．

(1) $\text{[math]}$ 的最小值是多少？

(2) 请求出（1）条件下，点P的坐标．

单选题未知

填空题 (共2题)

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是.

填空题未知

如图，在 $\text{[math]}$ 中，点A、点B在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点C在OA上，且 $\text{[math]}$ ，点D是 $\text{[math]}$ 的中点，点M是劣弧AB上的动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

填空题未知

解答题 (共2题)

如图，一条抛物线与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为抛物线的顶点，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上．

(1) 求抛物线解析式；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(3) 过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 交抛物线于 $\text{[math]}$ ，是否存在以点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

(4) 坐标平面内一点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的距离为1个单位，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

综合题未知

如图，已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 轴交于原点及点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求二次函数的表达式；

(2) 求顶点 $\text{[math]}$ 的坐标及直线 $\text{[math]}$ 的表达式；

(3) 判断 $\text{[math]}$ 的形状，试说明理由；

(4) 若点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ，一动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段 $\text{[math]}$ 匀速运动到点 $\text{[math]}$ ，再以每秒1个单位长度的速度沿线段 $\text{[math]}$ 匀速运动到点 $\text{[math]}$ 后停止运动，求点 $\text{[math]}$ 的运动时间 $\text{[math]}$ 的最小值．

综合题未知