专题05-2 瓜豆原理之直线轨迹型（几何最值模型）—中考数学重难点突破

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专题05-2 瓜豆原理之直线轨迹型（几何最值模型）—中考数学重难点突破

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2025-04-16

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D是 $\text{[math]}$ 边的中点，点P是 $\text{[math]}$ 边上一个动点，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边在 $\text{[math]}$ 的下方作等边三角形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A. $\text{[math]}$ B. 1 C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题未知

如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（）

A. 24 B. 22 C. 20 D. 18

单选题未知

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点P为 $\text{[math]}$ 边上任意一点，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为邻边作平行四边形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 长度的最小值为．

填空题未知

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ． P为边 $\text{[math]}$ 上一动点，作 $\text{[math]}$ 于点D， $\text{[math]}$ 于点E，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

填空题未知

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， D为线段AB上的动点，连接DC，将DC绕点D顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到DE，连接CE，BE．

(1) 如图1，当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，当 $\text{[math]}$ 时，

①探究AD和BE之间的数量关系，并说明理由；

②若 $\text{[math]}$ ， H是BC上一点，在点D移动过程中， $\text{[math]}$ 是否存在最小值？若存在，请直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值；若不存在，请说明理由．

综合题未知

如图，长方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E为 $\text{[math]}$ 上一点．且 $\text{[math]}$ ， F为 $\text{[math]}$ 边上的一个动点．连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕着点E顺时针旋转 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的位置，其中点B、点F的对应点分别为点H、点G，连接 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）．

A. $\text{[math]}$ B. 3 C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题未知

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上的动点，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A.12 B.10 C.9.6 D.4.8

单选题未知

如图在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．D是AB上一动点，以DC为斜边向右侧作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90°，连接BE，则线段BE的最小值为．

填空题未知

如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，E是边CD的中点，F是边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，连接AF'、BF'，则△ABF'的周长的最小值是．

填空题未知

预备知识：

(1) 在一节数学课上，老师提出了这样一个问题：随着变量t的变化，动点 $\text{[math]}$ 在平面直角坐标系中的运动轨迹是什么？

一番深思熟虑后，聪明的小明说：“是一条直线”，老师问：“你能求出这条直线的函数表达式吗？”

小明的思路如下：设这条直线的函数表达式为 $\text{[math]}$ ，

将点 $\text{[math]}$ 代入得： $\text{[math]}$ ，整理得 $\text{[math]}$

∵t为任意实数，等式恒成立，∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

∴这条直线的函数表达式为 $\text{[math]}$

请仿照小明的做法，完成问题：随着变量t的变化，动点 $\text{[math]}$ 在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线l，求直线l的函数表达式．

(2) 问题探究：如图1，在平面直角坐标系中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则点C的坐标为．

(3) 结论应用：如图2，在平面直角坐标系中，已知点 $\text{[math]}$ ， Q是直线 $\text{[math]}$ 上的一个动点，连接 $\text{[math]}$ ，过点P作 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的最小值．

实践探究题未知

单选题 (共2题)

如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P在线段 $\text{[math]}$ 上运动（含B、C两点），连接 $\text{[math]}$ ，以点A为中心，将线段 $\text{[math]}$ 逆时针旋转60°到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. 3

单选题未知

如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P是 $\text{[math]}$ 边上一个动点，在 $\text{[math]}$ 延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连接 $\text{[math]}$ 交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题未知

填空题 (共5题)

如图， $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的等边三角形，点 $\text{[math]}$ 为高 $\text{[math]}$ 上的动点．连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ．连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 周长的最小值是．

填空题未知

如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'，连接PP' ，CP'．当点P' 落在边BC上时，∠PP'C的度数为；当线段CP' 的长度最小时，∠PP'C的度数为

填空题未知

如图，线段 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的动点，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 的上方作 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 最小时， $\text{[math]}$ 的面积为．

填空题未知

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点P在边 $\text{[math]}$ 上，过点P作 $\text{[math]}$ ，垂足为D，过点D作 $\text{[math]}$ ，垂足为F．连接 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ 的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为．

填空题未知

如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，点P为边 $\text{[math]}$ 上的动点，连接 $\text{[math]}$ ，过点E作 $\text{[math]}$ ，交射线 $\text{[math]}$ 于点F，则 $\text{[math]}$ ．若点M是线段 $\text{[math]}$ 的中点，则当点P从点A运动到点B时，点M运动的路径长为．

填空题未知

解答题 (共1题)

已知等边三角形 $\text{[math]}$ ，过A点作 $\text{[math]}$ 的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接 $\text{[math]}$ ，把线段 $\text{[math]}$ 绕点C逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，直接写出线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系；

(2) 如图2，当点P、B在 $\text{[math]}$ 同侧且 $\text{[math]}$ 时，求证：直线 $\text{[math]}$ 垂直平分线段 $\text{[math]}$ ；

(3) 如图3，若等边三角形 $\text{[math]}$ 的边长为4，点P、B分别位于直线 $\text{[math]}$ 异侧，且 $\text{[math]}$ 的面积等于 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长度．

(4) 如图 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 之间的距离；

(5) 如图 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 之间运动时，求 $\text{[math]}$ 的最大值；

(6) 如图 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 之间运动时，点 $\text{[math]}$ 随之运动，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

综合题未知