专题08-2 倍长中线与截长补短模型（全等三角形模型）—中考数学重难点突破

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专题08-2 倍长中线与截长补短模型（全等三角形模型）—中考数学重难点突破

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2025-04-16

【“倍长中线”问题专练】

问题探究：

小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．

请回答：

(1) 小红证明△BED≌△CAD的判定定理是：；

(2) AD的取值范围是；

(3) 方法运用：

如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连结BF并延长交AC于点E，使AE＝EF，求证：BF＝AC．

(4) 如图3，在矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且 $\text{[math]}$ ，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG＝CG．

实践探究题未知

点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F．点O为AC的中点．

(1) 如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是；

(2) 当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？

(3) 如图3，点P在线段OA的延长线上运动，当∠OEF＝30°时，试探究线段CF、AE、OE之间的关系．

综合题未知

【“截长补短”问题专练】

如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．

(1) 求证：BD⊥EC；

(2) 若AB＝1，求AE的长；

(3) 如图2，连接AG，求证：EG﹣DG= $\text{[math]}$ AG．（结论中包含线段的和差等量关系，容易联想到截长补短的方法）

综合题未知

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

(1) 如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．

(2) 如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判断AC与BF的数量关系，并说明理由．

综合题未知

阅读材料：如图1，在 $\text{[math]}$ 中，D，E分别是边AB，AC的中点，小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使 $\text{[math]}$ ，连接CF，证明 $\text{[math]}$ ，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．

(1) 类比迁移：如图2，AD是 $\text{[math]}$ 的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

小亮发现可以类比材料中的思路进行证明．

证明：如图2，延长AD至点M，使 $\text{[math]}$ ，连接MC，……请根据小亮的思路完成证明过程．

(2) 方法运用：如图3，在等边 $\text{[math]}$ 中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，F是线段BE的中点，连接DF、CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明．

阅读理解未知

课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点D，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ，小明的方法是：如图2，在 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，构造全等三角形来证明．

(1) 小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段 $\text{[math]}$ 构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长 $\text{[math]}$ 至F，使 $\text{[math]}$ =▲ ，连接 $\text{[math]}$ 请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；

(2) 小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：

如图3，点D在 $\text{[math]}$ 的内部， $\text{[math]}$ 分别平分 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；

(3) 小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：

如果在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．

综合题未知