专题16-2 一线三等角相似模型—中考数学重难点突破

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专题16-2 一线三等角相似模型—中考数学重难点突破

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2025-04-16

问题提出：如图（1）， $\text{[math]}$ 是菱形 $\text{[math]}$ 边 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 是等腰三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系．

(1) 问题探究：先将问题特殊化，如图（2），当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的大小；

(2) 再探究一般情形，如图（1），求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系．

(3) 问题拓展：将图（1）特殊化，如图（3），当 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

实践探究题未知

某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．

(1) 如图1，在 $\text{[math]}$ ABC中，∠BAC＝90°， $\text{[math]}$ ＝k，直线l经过点A，BD⊥直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证： $\text{[math]}$ ＝k．

(2) 组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 $\text{[math]}$ ABC中， $\text{[math]}$ ＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

(3) 数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在 $\text{[math]}$ ABC中，沿 $\text{[math]}$ ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG， $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ， AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．

①求证：I是EG的中点．

②直接写出线段BC与AI之间的数量关系： ▲ ．

综合题未知

单选题 (共3题)

如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接DE，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，给出下面三个结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③

单选题未知

如图，点A为反比例函数 $\text{[math]}$ 图象上的一点，连接 $\text{[math]}$ ，过点O作 $\text{[math]}$ 的垂线与反比例 $\text{[math]}$ 的图象交于点B，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题未知

如图，在正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上有一点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，把 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长与 $\text{[math]}$ 的延长线交于点 $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题未知

填空题 (共1题)

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．正方形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ，它的顶点D，E，G分别在 $\text{[math]}$ 的边上，则 $\text{[math]}$ 的长为．

填空题未知

解答题 (共4题)

在等腰直角 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， D为直线 $\text{[math]}$ 上任意一点，连接 $\text{[math]}$ ．将线段 $\text{[math]}$ 绕点D按顺时针方向旋转 $\text{[math]}$ 得线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 【尝试发现】如图1，当点D在线段 $\text{[math]}$ 上时，线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系为；

(2) 【类比探究】当点D在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系并证明；

(3) 【联系拓广】若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

实践探究题未知

【模型建立】

(1) 如图1，已知 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．用等式写出线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由．

(2) 【模型应用】如图2，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点E，F分别在对角线 $\text{[math]}$ 和边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．用等式写出线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由．

(3) 【模型迁移】如图3，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点E在对角线 $\text{[math]}$ 上，点F在边 $\text{[math]}$ 的延长线上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．用等式写出线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由．

实践探究题未知

在矩形 $\text{[math]}$ 中，点E，F分别在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，将矩形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，使点A的对应点P落在边 $\text{[math]}$ 上，点B的对应点为点G， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H．

(1) 如图1，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，当P为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 如图3，连接 $\text{[math]}$ ，当P，H分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点时，探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由．

综合题未知

综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 【观察感知】如图2，通过观察，线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是；

(2) 【问题解决】如图3，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；

(3) 【类比迁移】在(2)的条件下，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

(4) 【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线 $\text{[math]}$ 上找点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，请直接写出线段 $\text{[math]}$ 的长度．

实践探究题未知