专题17-2 手拉手相似模型—中考数学重难点突破

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专题17-2 手拉手相似模型—中考数学重难点突破

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2025-04-16

(1) 【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．

(2) 【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

(3) 【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且 $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ．连接BD，CE．①求 $\text{[math]}$ 的值；②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．

实践探究题未知

在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与点B、C重合），连结AD．

(1) 如图1，若∠C＝60°，点D关于直线AB的对称点为点E，连结AE，DE，则∠BDE＝；

(2) 若∠C＝60°，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连结BE．

①在图2中补全图形；

②探究CD与BE的数量关系，并证明；

(3) 如图3，若 $\text{[math]}$ ，且∠ADE＝∠C．试探究BE、BD、AC之间满足的数量关系，并证明．

综合题未知

某校数学活动小组探究了如下数学问题：

(1) 问题发现：如图1， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰作等腰 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是；

(2) 变式探究：如图2， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边作等腰 $\text{[math]}$ ，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由；

(3) 问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求正方形ABCD的边长．

实践探究题未知

单选题 (共1题)

如图， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是以点 $\text{[math]}$ 为直角顶点的等腰直角三角形，把 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 为中心顺时针旋转，点 $\text{[math]}$ 为射线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的交点．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．以下结论：

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；

③当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的延长线上时， $\text{[math]}$ ；

④在旋转过程中，当线段 $\text{[math]}$ 最短时， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．

其中正确结论有（）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

单选题未知

填空题 (共1题)

如图，以 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为腰分别向外作等腰直角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 分别交线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，以下说法：①当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；④当直线 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点．正确的有．(填序号)

填空题未知

解答题 (共4题)

如图1，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ 中点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

(2) 将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转到图2的位置．

①请直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系： ▲ ；

②求证： $\text{[math]}$ ．

综合题未知

数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 【初步感知】如图1，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在纸片 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转过程中，试探究 $\text{[math]}$ 的值．

(2) 【深入探究】如图2，在纸片 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转过程中，当点 $\text{[math]}$ 恰好落在 $\text{[math]}$ 的中线 $\text{[math]}$ 的延长线上时，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

(3) 【拓展延伸】在纸片 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转过程中，试探究 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形 $\text{[math]}$ 的面积；若不能，请说明理由．

实践探究题未知

综合与实践

数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．

(1) 发现问题：如图1，在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系：， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；

(2) 类比探究：如图2，在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．请猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系及 $\text{[math]}$ 的度数，并说明理由；

(3) 拓展延伸：如图3， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在一条直线上，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为点 $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系：；

(4) 实践应用：正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，若平面内存在点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

实践探究题未知

综合与实践

如图，在 $\text{[math]}$ 中，点D是斜边 $\text{[math]}$ 上的动点（点D与点A不重合），连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直角边在 $\text{[math]}$ 的右侧构造 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 特例感知

如图1，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的位置关系是，数量关系是；

(2) 类比迁移

如图2，当 $\text{[math]}$ 时，猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．

(3) 拓展应用

在（1）的条件下，点F与点C关于 $\text{[math]}$ 对称，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如图3．已知 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 的面积为y．

①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；

②当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长度．

实践探究题未知