专题18-2 半角模型（相似三角形模型）

数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有 $\text{[math]}$ 角的三角尺放在正方形 $\text{[math]}$ 中，使 $\text{[math]}$ 角的顶点始终与正方形的顶点 $\text{[math]}$ 重合，绕点 $\text{[math]}$ 旋转三角尺时， $\text{[math]}$ 角的两边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 始终与正方形的边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所在直线分别相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ．

(1) 【探究一】如图②，把 $\text{[math]}$ 绕点C逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，同时得到点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上．求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 【探究二】在图②中，连接 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线 $\text{[math]}$ 与三角尺 $\text{[math]}$ 角两边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

(4) 当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，

①求证： $\text{[math]}$ ；

②连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(5) 当 $\text{[math]}$ 时，延长 $\text{[math]}$ 交射线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交射线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 是等腰三角形.

实践探究题未知

综合与实践

数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．

折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．

(1) $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，写出图中两个等腰三角形：（不需要添加字母）；

(2) 转一转：将图1中的 $\text{[math]}$ 绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为；

(3) 连接正方形对角线BD，若图2中的 $\text{[math]}$ 的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N．如图3，则 $\text{[math]}$ ；

(4) 剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．求证： $\text{[math]}$ ．

综合题未知

单选题 (共2题)

如图，在边长为4的正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 延长线上一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长度为（）

A. 2 B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题未知

如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 一定等于（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题未知

解答题 (共3题)

旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题．

(1) 尝试解决：如图①，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点M是 $\text{[math]}$ 上的一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点A旋转后得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

(2) 类比探究：如图②，在“筝形”四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 于点B， $\text{[math]}$ 于点D，点P、Q分别是 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长．（结果用a表示）

(3) 拓展应用：如图③，已知四边形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积．

实践探究题未知

如图①， $\text{[math]}$ 是等腰 $\text{[math]}$ 的斜边 $\text{[math]}$ 上的两动点， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 如图②，作 $\text{[math]}$ ，垂足为H，设 $\text{[math]}$ ，不妨设 $\text{[math]}$ ，请利用（2）的结论证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 成立．

综合题未知

在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：

【问题情境】

如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D、E在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解：如图2，将 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

由旋转的特征得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ．

∵ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．

∴ $\text{[math]}$ ．

在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中，

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

∴①▲ ．

∴ $\text{[math]}$ ．

又∵ $\text{[math]}$ ，

∴在 $\text{[math]}$ 中，②▲ ．

∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ③▲ ．

(1) 【问题解决】

上述问题情境中，“①”处应填：；“②”处应填：；“③”处应填：．

刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．

(2) 【知识迁移】

如图3，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点E、F分别在边 $\text{[math]}$ 上，满足 $\text{[math]}$ 的周长等于正方形 $\text{[math]}$ 的周长的一半，连结 $\text{[math]}$ ，分别与对角线 $\text{[math]}$ 交于M、N两点．探究 $\text{[math]}$ 的数量关系并证明．

(3) 【拓展应用】

如图4，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点E、F分别在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ．探究 $\text{[math]}$ 的数量关系：（直接写出结论，不必证明）．

(4) 【问题再探】

如图5，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D、E在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求y与x的函数关系式．

实践探究题未知