模型解读  

常见类型讲解  

1、垂直平分线  

2、等腰三角形的“三线合一”  

3、“平行线+中点+对顶角”构造全等或相似模型  

4、直角三角形斜边中线模型  

5、中位线模型  

6、中点四边形模型  

真题演练  

巩固练习  

中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。

1、垂直平分线

定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。

如图，在三角形ABC中，DE⊥BC，且D为BC中点，则BE=EC。

模型运用条件：当遇到三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质。

2、等腰三角形的“三线合一”

定理：等腰三角形底边中线、高线、顶角平分线“三线合一”。

如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，D为BC边上的中点，则∠BAD =∠CAD，AD⊥BC， BD=CD。

模型运用条件：等腰三角形中有底边上的中点时，常作底边的中线。

3、“平行线+中点+对顶角”构造全等或相似模型

我们把这种情况叫做平行线间夹中点.处理这种情况的一般方法是：延长过中点的线段和平行线相交，即“延长中线交平行”

如图，AB//CD，点E是BC的中点，可延长DE交AB于点F。

模型运用条件：构造8字型全等（平行线夹中点）。

4、直角三角形斜边中线模型

定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

如图1，若AD为斜边上的中线，则：

（1）；（2） ， 为等腰三角形；（3） ， ．

拓展：如图2，在由两个直角三角形组成的图中，M为中点，则（1）；（2） ．

模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时）

5、中位线模型

三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。

如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E，则DE//BC且 ， △ADE∽△ABC。

中点三角形：三角形三边中点的连线组成的三角形，其周长是原三角形周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一。

模型运用条件：构造中位线（出现多个中点时）。

6、中点四边形模型

中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形。

中点四边形是中点模型中比较经典的应用。中点四边形不仅结合了常见的特殊四边形的性质，而且还会涉及中位线这一重要知识点，总体来说属于比较综合的几何模块。

结论1：顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形．

如图1，已知点M、N、P、Q是任意四边形ABCD各边中点，则四边形MNPQ为平行四边形。

结论2：顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形）

如图2，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC⊥DB，则四边形MNPQ为矩形。

结论3：顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形）

如图3，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，则四边形MNPQ为菱形。

结论4：顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形．

如图4，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，AC⊥DB，则四边形MNPQ为正方形。

推广与应用

1）中点四边形的周长：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和。

2）中点四边形的面积：中点四边形的面积等于原四边形面积的。