专题29-2 图形翻折变换模型—中考数学重难点突破

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2025-04-16

【“矩形中的翻折模型”专练】

如图，在平面直角坐标中，矩形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ ，将矩形 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 折叠到如图所示的位置，线段 $\text{[math]}$ 恰好经过点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 轴的点 $\text{[math]}$ 位置，点 $\text{[math]}$ 的坐标是（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题未知

如图，四边形 $\text{[math]}$ 是矩形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点E为边 $\text{[math]}$ 的中点，点F为边 $\text{[math]}$ 上一点，将四边形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，点A的对应点为点 $\text{[math]}$ ，点B的对应点为点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点H，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长是．

填空题未知

综合与实践

【问题情境】如图1，小华将矩形纸片 $\text{[math]}$ 先沿对角线 $\text{[math]}$ 折叠，展开后再折叠，使点 $\text{[math]}$ 落在对角线 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 的对应点记为 $\text{[math]}$ ，折痕与边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 【活动猜想】如图2，当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时，四边形 $\text{[math]}$ 是哪种特殊的四边形？答：.

(2) 【问题解决】如图3，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求证：点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一条直线上.

(3) 【深入探究】如图4，当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 满足什么关系时，始终有 $\text{[math]}$ 与对角线 $\text{[math]}$ 平行？请说明理由.

(4) 在（3）的情形下，设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试探究三条线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间满足的等量关系，并说明理由.

综合题未知

【“菱形中的翻折模型”专练】

如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A’MN，连结A’C，则A’C长度的最小值是（）.

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. 2

单选题未知

如图，将菱形纸片 $\text{[math]}$ 沿过点 $\text{[math]}$ 的直线折叠，使点 $\text{[math]}$ 落在射线 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处，折痕 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长等于．

填空题未知

【“正方形中的翻折模型”专练】

如图，已知正方形 $\text{[math]}$ 的边长为1，点E、F分别在边 $\text{[math]}$ 上，将正方形沿着 $\text{[math]}$ 翻折，点B恰好落在 $\text{[math]}$ 边上的点 $\text{[math]}$ 处，如果四边形 $\text{[math]}$ 与四边形 $\text{[math]}$ 的面积比为3∶5，那么线段 $\text{[math]}$ 的长为．

填空题未知

如图，将边长为3的正方形 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 折叠，使点 $\text{[math]}$ 的对应点 $\text{[math]}$ 落在边 $\text{[math]}$ 上（点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 重合），点 $\text{[math]}$ 落在点 $\text{[math]}$ 处， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，折痕分别与边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题未知

综合与实践定义：将宽与长的比值为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为正整数）的矩形称为 $\text{[math]}$ 阶奇妙矩形．

(1) 概念理解：当 $\text{[math]}$ 时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（ $\text{[math]}$ ）与长 $\text{[math]}$ 的比值是．

(2) 操作验证：用正方形纸片 $\text{[math]}$ 进行如下操作（如图（2））：

第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ；

第二步：折叠纸片使 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 的对应点为点 $\text{[math]}$ ，展开，折痕为 $\text{[math]}$ ；

第三步：过点 $\text{[math]}$ 折叠纸片，使得点 $\text{[math]}$ 分别落在边 $\text{[math]}$ 上，展开，折痕为 $\text{[math]}$ ．

试说明：矩形 $\text{[math]}$ 是1阶奇妙矩形．

(3) 方法迁移：用正方形纸片 $\text{[math]}$ 折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．

(4) 探究发现：小明操作发现任一个 $\text{[math]}$ 阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点 $\text{[math]}$ 为正方形 $\text{[math]}$ 边 $\text{[math]}$ 上（不与端点重合）任意一点，连接 $\text{[math]}$ ，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形 $\text{[math]}$ 的周长与矩形 $\text{[math]}$ 的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．

综合题未知

【“三角形中的翻折模型”专练】

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为．

填空题未知

如图， $\text{[math]}$ 平分等边 $\text{[math]}$ 的面积，折叠 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 两点．若 $\text{[math]}$ ，用含 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ 的长是．

填空题未知

综合与实践

问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为 $\text{[math]}$ 的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．探究发现：如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 操作发现：将 $\text{[math]}$ 折叠，使边 $\text{[math]}$ 落在边 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 的对应点是点 $\text{[math]}$ ，折痕交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ （用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）；

(2) 进一步探究发现： $\text{[math]}$ ，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明： $\text{[math]}$ ；

(3) 拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的 $\text{[math]}$ 是黄金三角形．如图2，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求这个菱形较长对角线的长．

综合题未知

【“圆中的翻折模型”专练】

如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的弦，先将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．再将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 所在的范围是（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题未知

如图，在扇形 $\text{[math]}$ 中，点C，D在 $\text{[math]}$ 上，将 $\text{[math]}$ 沿弦 $\text{[math]}$ 折叠后恰好与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相切于点E，F．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为；折痕 $\text{[math]}$ 的长为．

填空题未知

如图， $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的弦，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的一点，将 $\text{[math]}$ 沿弦 $\text{[math]}$ 翻折，使点 $\text{[math]}$ 与圆心 $\text{[math]}$ 重合，则阴影部分的面积为．（结果保留 $\text{[math]}$ 与根号）

填空题未知

如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点O为矩形 $\text{[math]}$ 的对称中心，点E为边 $\text{[math]}$ 上的动点，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点F．将四边形 $\text{[math]}$ 沿着 $\text{[math]}$ 翻折，得到四边形 $\text{[math]}$ ，边 $\text{[math]}$ 交边 $\text{[math]}$ 于点G，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积的最小值为（）

A. 18－3 B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题未知

如图，矩形纸片 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E、G分别在 $\text{[math]}$ 上，将 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别沿 $\text{[math]}$ 翻折，翻折后点C与点F重合，点B与点P重合．当A、P、F、E四点在同一直线上时，线段 $\text{[math]}$ 长为（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题未知

如图，在菱形纸片 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， E是 $\text{[math]}$ 边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线 $\text{[math]}$ 上的点G处，折痕为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点H，有如下结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ，上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④

单选题未知

对角线长分别为6和8的菱形 $\text{[math]}$ 如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B， $\text{[math]}$ 两点重合， $\text{[math]}$ 是折痕．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为．

填空题未知

如图，正方形 $\text{[math]}$ 的边长为4，点F为 $\text{[math]}$ 边的中点，点P是 $\text{[math]}$ 边上不与端点重合的一动点，连接 $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，点A的对应点为点E，则线段 $\text{[math]}$ 长的最小值为（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题未知

如图，正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 对折至 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交边 $\text{[math]}$ 于点G，连接 $\text{[math]}$ ，则下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ③ $\text{[math]}$ ；④AG//CF；其中正确的有（填序号）．

填空题未知

如图所示，有一块直角三角形纸片， $\text{[math]}$ ，将斜边 $\text{[math]}$ 翻折，使点B落在直角边 $\text{[math]}$ 的延长线上的点E处，折痕为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长是．

填空题未知

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D在边 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 翻折，点A恰好落在 $\text{[math]}$ 边上的点E处，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长是．

填空题未知

如图， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径，点 $\text{[math]}$ 为圆上一点， $\text{[math]}$ ，将劣弧 $\text{[math]}$ 沿弦 $\text{[math]}$ 所在的直线翻折，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数等于( )．

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题未知

如图， $\text{[math]}$ 的半径为4．将 $\text{[math]}$ 的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O．则这条劣弧的弧长为．

填空题未知

如图， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，翻折后的弧交 $\text{[math]}$ 于D．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. 8 D. 10

单选题未知

综合与实践：

在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．

在矩形 $\text{[math]}$ 中，E为 $\text{[math]}$ 边上一点，F为 $\text{[math]}$ 边上一点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，分别将 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线．

(1) 如图1，若F为 $\text{[math]}$ 边的中点， $\text{[math]}$ ，点G与点H重合，则 $\text{[math]}$ ＝°， $\text{[math]}$ ＝；

(2) 如图2，若F为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数及 $\text{[math]}$ 的长；

(3) $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若F为 $\text{[math]}$ 的三等分点，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

综合题未知