在平面直角坐标系中，直线经过抛物线的顶点．

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1. 在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 经过抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点．

(1) 如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为 $\text{[math]}$ ．

①求抛物线的解析式并直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；

② $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最小值为2，求 $\text{[math]}$ 的值；

③当 $\text{[math]}$ 时．动点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 下方的抛物线上，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值．

(2) 当抛物线不经过原点时，其顶点记为 $\text{[math]}$ ．当直线 $\text{[math]}$ 同时经过点 $\text{[math]}$ 和（1）中抛物线的顶点 $\text{[math]}$ 时，设直线 $\text{[math]}$ 与抛物线的另一个交点为 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴的交点为 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

【考点】

二次函数与一次函数的综合应用; 二次函数-动态几何问题;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数）．

(1) 当 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的表达式及顶点坐标；

(2) 当 $\text{[math]}$ 经过坐标原点时，设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的另一个交点为点 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 的面积是 $\text{[math]}$ 面积的2倍？若存在，求出此时点 $\text{[math]}$ 的坐标，若不存在，说明理由；

(3) 若 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 只有一个交点，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

综合题困难

2. 如图1，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D， $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的函数表达式；

(2) 判断 $\text{[math]}$ 的形状并说明理由；

(3) 如图2，N是AC下方的抛物线上的一个动点，且点N的横坐标为n，求 $\text{[math]}$ 面积S与n的函数关系式及S的最大值；

(4) 在抛物线上是否存在一点N，使得 $\text{[math]}$ ，若存在，请直接写出点N的坐标若不存在，请说明理由．

综合题困难

3. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，D（0，﹣3），抛物线y＝﹣2x²+6x+8与y轴交于C点，交x轴于A、B两点（A在B的左边），E为抛物线第一象限上一动点．

(1) 直接写出A，B两点坐标；

(2) 连接BD，过E作EF⊥x轴交BD于F，当DF＝CE时，求点E的横坐标；

(3) 连接ED，平移至MN，使M，E对应，使M，N分别与D，E对应，且M，N均落在抛物线上，连接EM，判断并证明直线EM是否经过一个定点．

综合题困难