如图，的对角线相交于点，点在边的延长线上，且，连结．

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1. 如图， $\text{[math]}$ 的对角线相交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 的延长线上，且 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ．

(2) 设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

三角形内角和定理; 勾股定理的逆定理; 勾股定理的应用; 平行四边形的性质;

【答案】

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解答题普通

1. 在一条东西走向河的一侧有一村庄C ，河边原有两个取水点A ， B ，其中 $\text{[math]}$ ，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH ，测得 $\text{[math]}$ 千米， $\text{[math]}$ 千米， $\text{[math]}$ 千米．

(1) 问CH是否为从村庄C到河边的最近路﹖请通过计算加以说明；

(2) 求原来的路线AC的长．

解答题普通

2. 2024年2月7日，云梦县楚王城公园（南片）开园迎客．开园当天，建设东路年货集市、非遗赶大集、文艺晚会和烟火晚会等丰富多彩的文娱活动精彩呈现，吸引了近万名市民共同感受“云上王城龙凤呈祥”的美好图景．如图，公园在建设东路上有 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两个出口，相距250米，在公路北面不远处的 $\text{[math]}$ 地是烟火晚会烟花燃放处，已知 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的距离为150米，与 $\text{[math]}$ 的距离为200米，在烟花燃放过程中，为了安全起见，燃放点 $\text{[math]}$ 周围半径130米范围内不得进入．

(1) 烟花燃放点 $\text{[math]}$ 距离公路的垂直距离为多少米？

(2) 烟花燃放过程中，按照安全要求， $\text{[math]}$ 之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长．

解答题普通

3. 定义：如图，点M ， N把线段AB分割成AM ， MN ， NB ，若以AM ， MN ， NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M ， N是线段AB的勾股分割点．

(1) 已知M ， N把线段AB分割成AM ， MN ， NB ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则点M ， N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．

(2) 已知点M ， N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求BN的长．

解答题普通