如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D在边AC上，将△ABD绕点B顺时针旋转得到△CBE，连接ED并延长交BA的延长线于点F．

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1. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D在边AC上，将△ABD绕点B顺时针旋转得到△CBE，连接ED并延长交BA的延长线于点F．

(1) 求证：∠CDE=∠ABD；

(2) 探究线段AD，CD，BE之间的数量关系，并说明理由；

(3) 若AD=1，CD=3，求线段EF的长．

【考点】

相似三角形的判定与性质; 解直角三角形; 旋转的性质;

【答案】

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综合题困难

1. 在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△DBE．

(1) 当旋转成如图①，点E在线段CA的延长线上时，则∠CED的度数是度；

(2) 当旋转成如图②，连接AD、CE，若△ABD的面积为4，求△CBE的面积；

(3) 点M为线段AB的中点，点P是线段AC上一动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点P′，连接MP′，如图③，直接写出线段MP′长度的最大值和最小值．

综合题困难

2. 将一副三角尺如图①摆放，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ；在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 如图②，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针方向旋转角 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），此时的等腰直角三角尺记为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ 的值是否随着 $\text{[math]}$ 的变化而变化？如果不变，请求出 $\text{[math]}$ 的值；反之，请说明理由.

综合题困难

3. 如图，四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ .

(1) 如图1，当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ .

(2) 如图2，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

(3) 如图3，延长 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点D，连结 $\text{[math]}$ ，过点D作 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .试探究：在射线 $\text{[math]}$ 上，是否存在点E，使得 $\text{[math]}$ 的某一个内角等于 $\text{[math]}$ 的2倍？若存在，连结 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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