已知：在△ABC中，∠ACB=90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ=MN．求证：

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1. 已知：在△ABC中，∠ACB=90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ=MN．

求证：

(1) △APM是等腰三角形；

(2) PC=AN．

【考点】

全等三角形的判定与性质; 角平分线的性质; 等腰三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，在四边形 ABCD 中，∠BAD=α，∠BCD=180°-α，BD 平分∠ABC.

(1) 如图，若α=90°，根据教材中一个重要性质直接可得 DA=CD，这个性质是；

(2) 问题解决：如图，求证：AD=CD；

(3) 问题拓展：如图，在等腰△ABC 中，∠BAC=100°，BD 平分∠ABC，求证：BD+AD=BC.

综合题困难

2. 如图（1），Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F

(1) 求证：CE=CF．

(2) 将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论．

综合题普通

3. 如图，已知：OP平分∠MON，点A，B 分别在边OM，ON 上，且∠OAP＋∠OBP=180°， PC⊥OM于点C．

(1) 求证：PA=PB；

(2) 求证：OA－OB=2AC．

综合题困难