如图，已知正方形ABCD的边长为，连接AC、BD交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E，

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1. 如图，已知正方形ABCD的边长为 $\text{[math]}$ ，连接AC、BD交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E，

(1) 求DE的长；

(2) 过点EF作EF⊥CE，交AB于点F，求BF的长；

(3) 过点E作EG⊥CE，交CD于点G，求DG的长．

【考点】

全等三角形的判定与性质; 等腰三角形的性质; 正方形的性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题普通

1. 在△ABC中，∠A=90°，点D在线段BC上，∠EDB= $\text{[math]}$ ∠C，BE⊥DE，垂足E，DE与AB相交于点F．

(1) 当AB=AC时，（如图1），

① ∠EBF=°；
②求证：BE= 1 2 FD；

(2) 当AB=kAC时（如图2），求 $\text{[math]}$ 的值（用含k的式子表示）．

综合题普通

2. 以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等腰三角形ABF和ADE．

(1) 当四边形ABCD为正方形时（如图1），以边AB、AD为斜边分别向外侧作等腰直角三角形ABF和ADE，连接EB、FD，线段EB和FD的数量关系是；

(2) 当四边形ABCD为矩形时（如图2），以边AB、AD为斜边分别向矩形内侧、外侧作等腰直角三角形ABF和ADE，连接EB、FD，线段EF和BD具有怎样的数量关系？请说明理由；

(3) 四边形ABCD为平行四边形时，以边AB、AD为斜边分别向平行四边形内侧、外侧作等腰三角形ABF和ADE，且△EAD与△FBA的顶角都为a，连接EF、BD，交点为G．请用a表示出∠EGD，并说明理由。

综合题困难

3. 如图， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是有公共顶点的直角三角形， $\text{[math]}$ ，点P为射线BD ， CE的交点．

(1) 如图1，若 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是等腰三角形，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，若 $\text{[math]}$ ，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由．

(3) 在（1）的条件下，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若把 $\text{[math]}$ 绕点A旋转，当 $\text{[math]}$ 时，求PB的长．

综合题困难