如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的C1处，点D落在点D1处，C1D1交线段AE于点G．

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1. 如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的C₁处，点D落在点D₁处，C₁D₁交线段AE于点G．

(1) 求证：△BC₁F∽△AGC₁；

(2) 若C₁是AB的中点，AB＝6，BC＝9，求AG的长．

【考点】

矩形的性质; 翻折变换（折叠问题）; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题普通

1. 折叠变换是特殊的轴对称变换，我们生活中常对矩形纸片进行折叠，这其中蕴含着丰富的数学知识和思想．

(1) 如图1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E是DC的中点，将矩形ABCD沿BE折叠，点C落在点F的位置．

①求证：DF $\text{[math]}$ BE；

②求DF的长度．

(2) 如图2，在直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在的直线折叠，点B落在点D处，AD与y轴交于点E，OA＝2，OC＝2 $\text{[math]}$ ，点G是直线AC上的一个动点，在坐标平面内存在点H，使得以点E，A，G，H为顶点的四边形是菱形，请直接写出点H坐标．

综合题困难

2. 已知：如图，矩形ABCD的一条边AB=10，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，折痕为AO．

(1) 求证：△OCP∽△PDA；

(2) 若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AD的长．

综合题普通

3. 某数学课外兴趣小组成员在研究下面三个有联系的问题，请你帮助他们解决：

(1) 如图1，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，将矩形对折，使得点B、点D重叠，折痕为EF，过点F作AB的垂线交AB于点G，求EF的长；

(2) 如图2，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点E，F分别在AB，DC上，点G，H分别在AD，BC上且EF⊥GH，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝8，BC＝CD＝4，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求 $\text{[math]}$ 的值.

综合题困难