如图，已知△ABC是等边三角形，D为边AC的中点，AE⊥EC，BD=EC．

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1. 如图，已知△ABC是等边三角形，D为边AC的中点，AE⊥EC，BD=EC．

(1) 求证：△BDA≌△CEA；

(2) 请判断△ADE是什么三角形，并说明理由．

【考点】

全等三角形的判定与性质; 等边三角形的判定与性质; 含30°角的直角三角形;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，在正 $\text{[math]}$ 的内部，作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两两相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点不重合）．

(1) $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．

(2) $\text{[math]}$ 是否为正三角形？请说明理由．

(3) 进一步探究发现， $\text{[math]}$ 的三边存在一定的等量关系，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请探索 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足的等量关系．

综合题普通

2. 如图1，在△ABC中，∠B＝60°，点M从点B出发沿射线BC方向，在射线BC上运动.在点M运动的过程中，连结AM，并以AM为边在射线BC上方，作等边△AMN，连结CN.

(1) 当∠BAM＝°时，AB＝2BM；

(2) 请添加一个条件，使得△ABC为等边三角形；

①如图1，当△ABC为等边三角形时，求证：CN+CM＝AC；

②如图2，当点M运动到线段BC之外（即点M在线段BC的延长线上时），其它条件不变（△ABC仍为等边三角形），请写出此时线段CN、CM、AC满足的数量关系，并证明.

综合题困难

3. 问题背景

如图 $\text{[math]}$ ，在正方形 $\text{[math]}$ 的内部，作 $\text{[math]}$ ，根据三角形全等的条件，易得 $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ，从而得到四边形 $\text{[math]}$ 是正方形．

类比探究

如图 $\text{[math]}$ ，在正 $\text{[math]}$ 的内部，作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两两相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点不重合）．

(1) $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．

(2) $\text{[math]}$ 是否为正三角形？请说明理由．

(3) 进一步探究发现，图 $\text{[math]}$ 中的 $\text{[math]}$ 的三边存在一定的等量关系，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请探索 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足的等量关系．

综合题困难