如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°

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1. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°

(1) 求证：△PAB∽△PBC

(2) 求证：PA=2PC

(3) 若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h₁ ， h₂ ， h₃ ，求证h₁²=h₂·h₃

【考点】

相似三角形的判定与性质; 等腰直角三角形;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，点C在线段 $\text{[math]}$ 上，在 $\text{[math]}$ 同侧作等腰 $\text{[math]}$ 和等腰 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ 于点O，交 $\text{[math]}$ 于点F，

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题普通

2. 如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点D为三角形内一点，且∠ACD=∠DAB=∠DBC．

(1) 求∠CDB的度数；

(2) 求证：△DCA∽△DAB；

(3) 若CD的长为1，求AB的长．

综合题普通

3. 在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，BC=3BD，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为α（0°＜α＜180°），连接BE，CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF，连接AF．

(1) 如图1，求证：△CAF∽△CBE，并求出 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 如图2，当B，E，F三点共线时，连接AE，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．

综合题困难