如图

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1. 如图

(1) 如图1， $\text{[math]}$ 是正方形 $\text{[math]}$ 边 $\text{[math]}$ 上的一点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕着点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ .

①线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系是；

②写出线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间的数量关系.

(2) 当四边形 $\text{[math]}$ 为菱形， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是菱形 $\text{[math]}$ 边 $\text{[math]}$ 所在直线上的一点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕着点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ .

①如图2，点 $\text{[math]}$ 在线段上时，请探究线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，写出结论并给出证明；

②如图3，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上时， $\text{[math]}$ 交射线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ；若 $\text{[math]}$ ，直接写出线段 $\text{[math]}$ 的长度.

【考点】

全等三角形的判定与性质; 含30°角的直角三角形; 正方形的性质; 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例; 等腰直角三角形;

【答案】

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综合题困难

1. 已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．

(1) 如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论；

(2) 如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；

(3) 将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若AB=13，CE=5，请画出图形，并直接写出MF的长．

综合题普通

2. 如图，点E正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，连接CE、CF．

(1) 求证：△ABF≌△CBE；

(2) 判断△CEF的形状，并说明理由．

综合题普通

3. 如图，在正方形ABCD中，动点P在射线CB上（与B、C不重合），连结AP，过D作DF∥AP交直线BC于点F，过F作FE⊥直线BD于点E，连结AE、PE．

(1) 如图1，当点P在线段CB上时

①求证：△ABP≌△DCF；

②点P在运动过程中，探究：△AEP的形状是否发生变化，若不变，请判断△AEP的形状，并说明理由；

(2) 如图2，当点P在CB的延长线上时

①（1）中的结论②是否成立？不必说明理由；

②若正方形ABCD的边长为1，设BP＝x，当x为何值时，DF平分∠BDC？

综合题普通