如图，在正方形中，点是上的一点，点是延长线上的一点，且，连结．

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1. 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的一点，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 延长线上的一点，且 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，请求出 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

三角形全等及其性质; 三角形全等的判定; 正方形的性质; 等腰直角三角形;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点（ $\text{[math]}$ ），连接BE，DE．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 过点E作 $\text{[math]}$ 交BC于点F，延长BC至点G，使得 $\text{[math]}$ ，连接DG．

①依题意补全图形；

②用等式表示BE与DG的数量关系，并证明．

综合题困难

2. 下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 交正方形外角的平分线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．求证 $\text{[math]}$ ．（提示：取 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．）

(1) 请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件：；

(2) 如图1，若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上任意一点（不与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合），其他条件不变．求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 在（2）的条件下，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 为何值时，四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形，并给予证明．

综合题普通

3. ∆ABC中，点D在直线AB上.点E在平面内，点F在BC的延长线上，∠E=∠BDC，AE=CD，∠EAB+∠DCF=180º．

(1) 如图①，求证AD+BC=BE；

(2) 如图②、图③，请分别写出线段AD，BC，BE之间的数量关系，不需要证明；

(3) 若BE⊥BC，tan∠BCD= $\text{[math]}$ ，CD=10，则AD=．

综合题困难