如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E.

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1. 如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E.

(1) 求证：∠E＝ $\text{[math]}$ ∠C；

(2) 如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值；

(3) 如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出 $\text{[math]}$ 的值.

【考点】

三角形内角和定理; 角平分线的性质; 相似三角形的性质;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，已知：在Rt△ABC中，斜边AB=10，sinA= $\text{[math]}$ ，点P为边AB上一动点（不与A，B重合），PQ平分∠CPB交边BC于点Q，QM⊥AB于M，QN⊥CP于N．

(1) 当AP=CP时，求QP；

(2) 若四边形PMQN为菱形，求CQ；

(3) 探究：AP为何值时，四边形PMQN与△BPQ的面积相等？

综合题困难

2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点P从点A出发沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，同时点Q从点C出发沿边CB向点B以每秒a个单位长度的速度运动，过点P作PD⊥BC，交AB于点D，连接PQ．当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．

(1) 当a=2时，解答下列问题：

①QB=，PD=．（用含t的代数式分别表示）

(2) 当a为某个数值时，四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求a的值及四边形PDBQ为菱形时t的值．

(3) 当t=2时，在整个运动过程中，恰好存在线段PQ的中点M到△ABC三边距离相等，直接写出此刻a的值．

综合题普通

3. 如图，已知直线l₁∥l₂ ，线段AB在直线l₁上，BC垂直于l₁交l₂于点C，且AB=BC，P是线段BC上异于两端点的一点，过点P的直线分别交l₂、l₁于点D、E（点A、E位于点B的两侧），满足BP=BE，连接AP、CE．

(1) 求证：△ABP≌△CBE；

(2) 连结AD、BD，BD与AP相交于点F．如图2．

①当 $\text{[math]}$ =2时，求证：AP⊥BD；

②当 $\text{[math]}$ =n（n＞1）时，设△PAD的面积为S₁ ， △PCE的面积为S₂ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题普通