如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，点P为BC边上一动点，连接AP，过点B作BQ⊥AP，垂足为Q，连接CQ.

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1. 如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，点P为BC边上一动点，连接AP，过点B作BQ⊥AP，垂足为Q，连接CQ.

(1) 证明：△ABP∽△BQP；

(2) 当点P为BC的中点时，若∠BAC＝37°，求∠CQP的度数；

(3) 当点P运动到与点C重合时，延长BQ交CD于点F，若AQ＝AD，则 $\text{[math]}$ 等于多少.

【考点】

矩形的性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，矩形ABCD的对角线交于点O。点E在DC边上，∠DAE=∠BAC，连结AE交对角线BD于点G，F是线段EC的中点，连结BF。

(1) 求证：AE⊥BD。

(2) 判断DF与BF的数量关系，并说明理由。

(3) 若tan∠ACB=k（k≥1），△DFB和△ABC面积分别为S₁和S₂ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值。

综合题困难

2. 如图，在 $\text{[math]}$ 方格子中，有一条线段 $\text{[math]}$ ，两个端点在格点上，请利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．

(1) 如图1中，在线段 $\text{[math]}$ 上作出一点C，使得 $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2中，在线段 $\text{[math]}$ 上作出一点D，使得 $\text{[math]}$ ．

综合题普通

3. 如图1，已知四边形 $\text{[math]}$ 是矩形，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 连接 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(3) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题普通