如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是边AD、BC边上的中点，且△ABM≌△DCM；E、F分别是线段BM、CM的中点．

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1. 如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是边AD、BC边上的中点，且△ABM≌△DCM；E、F分别是线段BM、CM的中点．

(1) 求证：平行四边形ABCD是矩形．

(2) 求证：EF与MN互相垂直．

【考点】

三角形全等及其性质; 平行四边形的性质; 矩形的判定;

【答案】

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综合题普通

1. $\text{[math]}$ 问题呈现 $\text{[math]}$ 如图是李老师在一节课中的例题内容．

例 $\text{[math]}$ ：已知：如图，在 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 上的两点，并且 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．

证明： $\text{[math]}$ 四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形，

$\text{[math]}$ （平行四边形的对边相等）， $\text{[math]}$ （平行四边形的定义）．

$\text{[math]}$ ．

又 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ ．

(1) 【结论应用】

如图 $\text{[math]}$ ，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 上的两点，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，请判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并证明；

(2) 【拓展提升】

如图 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是正方形 $\text{[math]}$ 对角线 $\text{[math]}$ 上的两点且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点；

①则四边形 $\text{[math]}$ 的形状为；

②若正方形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．则四边形 $\text{[math]}$ 的面积为．

综合题困难

2. 如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．

(1) 求证：AC=BE；

(2) 若∠AFC=2∠D，连接AC，BE．求证：四边形ABEC是矩形．

综合题普通

3. 已知△ABC，分别以BC，AB，AC为边作等边三角形BCE，ACF，ABD

(1) 若存在四边形ADEF，判断它的形状，并说明理由.

(2) 存在四边形ADEF的条件下，请你给△ABC添个条件，使得四边形ADEF成为矩形，并说明理由.

(3) 当△ABC满足什么条件时四边形ADEF不存在.

综合题困难