如图，在矩形ABCD中，已知AB=12，BC=16，点O是对角线AC的中点，点E是AD边上的动点，连结EO并延长交BC于点F，过O作GH⊥EF，分别交矩形的边于点G，H。

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1. 如图，在矩形ABCD中，已知AB=12，BC=16，点O是对角线AC的中点，点E是AD边上的动点，连结EO并延长交BC于点F，过O作GH⊥EF，分别交矩形的边于点G，H。

(1) 当H，F，G，E四点分别分布在矩形ABCD的四条边上（不包括顶点）时，

①求证：四边形HFGE是菱形。

②求AE的取值范围。

(2) 当四边形HFGE的面积为144时，求AE的长。

【考点】

全等三角形的判定与性质; 菱形的判定与性质; 矩形的性质; 相似三角形的判定与性质; 锐角三角函数的定义;

【答案】

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综合题困难

1. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，MD∥BC，且MD=CM，DE⊥AB于点E，连结AD、CD．

(1) 求证：△MED∽△BCA；

(2) 求证：△AMD≌△CMD；

(3) 设△MDE的面积为S₁ ，四边形BCMD的面积为S₂ ，当S₂= $\text{[math]}$ S₁时，求cos∠ABC的值．

综合题普通

2. 问题探究：

小红遇到这样一个问题：如图1， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E ，使 $\text{[math]}$ ，连接BE ，证明 $\text{[math]}$ ，经过推理和计算使问题得到解决．