已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

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1. 已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

(1) 求证：EG=CG；

(2) 将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

(3) 将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．

【考点】

三角形全等及其性质; 正方形的性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图①，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．

(1) 求证：OE＝OF；

(2) 在图②中，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，AM交DB的延长线于点F（补全图形），其它条件不变时．结论“OE＝OF”还成立吗？除正方形ABCD的边之间以及对角线之间相等的线段外，写出三组相等的线段．（此问直接写出结论即可，不必写证明过程）

综合题普通

(1) 如图1，四边形ABCD是正方形，点E、点F分别在边AB和AD上，且AE=AF．此时，线段BE、DF的数量关系是，位置关系是．请直接写出结论．

(2) 如图2，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当0°＜α＜90°时，连接BE、DF，此时（1）中的结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．

(3) 如图3，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当α=90°时，连接BE、DF，若正方形的边长为1，猜想当AE=时，直线DF垂直平分BE．请写出计算过程．

(4) 如图4，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当90°＜α＜180°时，连接BD、DE、EF、FB得到四边形BDEF，则顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形？请直接写出结论：．

综合题困难

3. 如图，E为正方形ABCD内一点，点F在CD边上，且∠BEF＝90°，EF＝2BE ．点G为EF的中点，点H为DG的中点，连接EH并延长到点P ，使得PH＝EH ，连接DP．

(1) 依题意补全图形；

(2) 求证：DP＝BE；

(3) 连接EC ， CP ，猜想线段EC和CP的数量关系并证明．

综合题困难