如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE.点F是DE的中点，连接CF.

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1. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE.点F是DE的中点，连接CF.

(1) 求证：CF＝ $\text{[math]}$ AD；

(2) 如图2所示，在点D运动的过程中，当BD＝2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；

(3) 在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使PA+PB+PC的值最小.当PA+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长.

【考点】

等边三角形的判定与性质; 勾股定理; 旋转的性质; 等腰直角三角形; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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综合题困难

1. 【问题探究】

(1) 如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，不需要证明.

(2) 【深入探究】
如图2，四边形ABCD中，AB＝5，BC＝2，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD²的值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和△ABD全等的三角形，将BD进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算；

(3) 【变式思考】
如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，则CD＝.

综合题困难

(1) 如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC.求证：△ABD≌△ACE；

(2) 如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段DE，BD，CD之间满足的数量关系，并证明你的结论；

(3) 如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝6，CD＝2，则AD＝.

综合题困难

3. 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均在边 $\text{[math]}$ 上（点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧），且 $\text{[math]}$ .

(1) 如图1，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 如图3，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长度.

综合题普通