如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C ，且直线过点B ，与y轴交于点D ，点C与点D关于x轴对称．点P是线段上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M ，交直线于点N ．

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1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ ，与y轴交于点C ，且直线 $\text{[math]}$ 过点B ，与y轴交于点D ，点C与点D关于x轴对称．点P是线段 $\text{[math]}$ 上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M ，交直线 $\text{[math]}$ 于点N ．

(1) 求抛物线的函数解析式；

(2) 当 $\text{[math]}$ 的面积最大时，求点P的坐标；

(3) 在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q ，使得以 $\text{[math]}$ 三点为顶点的三角形是直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 三角形的面积; 相似三角形的判定与性质; 二次函数与一次函数的综合应用; 二次函数的实际应用-几何问题;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，直线 $\text{[math]}$ 与x轴、y轴交于点A、C，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点A、C，与x轴的另一个交点是B，点P是直线 $\text{[math]}$ 上的一动点.

(1) 求抛物线的解析式和点B的坐标；

(2) 如图1，求当 $\text{[math]}$ 的值最小时点P的坐标；

(3) 如图2，过点P作 $\text{[math]}$ 的垂线交y轴于点D，是否存在点P，使以P、D、B为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

综合题困难

2. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 交x轴于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，其对称轴为直线l，点C在l上，坐标为 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 沿着直线 $\text{[math]}$ 翻折，交l于点F，如图（1）所示.

(1) $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

(2) 如图（2），点P在x轴上方的抛物线上，点E在直线l上， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

(3) 在（2）的条件下，直接写出 $\text{[math]}$ 的值=；直接写出点P的坐标（）.

综合题困难

3. 如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴分则点A和点 $\text{[math]}$ ，与y轴交于点C，对称轴为直线 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， P为抛物线上一动点.

(1) 直接写出抛物线的解析式；

(2) 如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；

(3) 设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由.

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