在▱ABCD中，点B关于AD的对称点为B′，连接AB′，CB′，CB′交AD于F点．

1. 在▱ABCD中，点B关于AD的对称点为B′，连接AB′，CB′，CB′交AD于F点．

(1)

如图1，∠ABC=90°，求证：F为CB′的中点；

(2)

小宇通过观察、实验、提出猜想：如图2，在点B绕点A旋转的过程中，点F始终为CB′的中点．小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：过点B′作B′G∥CD交AD于G点，只需证三角形全等；

想法2：连接BB′交AD于H点，只需证H为BB′的中点；

想法3：连接BB′，BF，只需证∠B′BC=90°．

…

请你参考上面的想法，证明F为CB′的中点．（一种方法即可）

(3)

如图3，当∠ABC=135°时，AB′，CD的延长线相交于点E，求 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

三角形全等及其性质; 相似三角形的性质;

【答案】

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综合题困难

如图，在正方形ABCD中，点E是AB上一动点（不与点A，B重合），点F在AD上，过点E作EG⊥EF交BC于点G，连接FG．

若AB=4，AF=1，且设AE=n，

①当FG∥AB时，求n的值；

综合题困难

在边长为5的正方形ABCD中，点E，F分别是BC，DC边上的两个动点（不与点B，C，D重合），且AE⊥EF．

①依题意将图2补全；

②小京通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有AE=PE．小京把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的三种想法：

想法1：在AB上截取AG=EC，连接EG，要证AE=PE，需证△AGE≌△ECP．

想法2：作点A关于BC的对称点H，连接BH，CH，EH．要证AE=PE，需证△EHP为等腰三角形．

想法3：将线段BE绕点B顺时针旋转90°，得到线段BM，连接CM，EM，要证AE=PE，需证四边形MCPE为平行四边形．

请你参考上面的想法，帮助小京证明AE=PE．（一种方法即可）

综合题普通

如图①，在等边三角形ABC中，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，NC与AB的位置关系为；

如图②，在等腰三角形ABC中，BA=BC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等腰三角形AMN，使∠ABC=∠AMN，AM=MN，连接CN，试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由；

如图③，在正方形ADBC中，AD=AC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作正方形AMEF，点N为正方形AMEF的中点，连接CN，若BC=10，CN= $\text{[math]}$ ，试求EF的长．

综合题普通