定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点.例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P是△ABC的自相似点.请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：在平面直角坐标系中，点M是曲线y= （x＞0）上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点.

1. 定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点.

例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P是△ABC的自相似点.

请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：

在平面直角坐标系中，点M是曲线y= $\text{[math]}$ （x＞0）上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点.

(1) 如图2，点P是OM上一点，∠ONP=∠M，试说明点P是△MON的自相似点；当点M的坐标是（ $\text{[math]}$ ，3），点N的坐标是（ $\text{[math]}$ ，0）时，求点P的坐标；

(2) 如图3，当点M的坐标是（3， $\text{[math]}$ ），点N的坐标是（2，0）时，求△MON的自相似点的坐标；

(3) 是否存在点M和点N，使△MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由.

【考点】

反比例函数的图象; 反比例函数的性质; 反比例函数的实际应用;

【答案】

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综合题困难

如图，在直角梯形OABC中，BC∥AO，∠AOC=90°，点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），点D为AB上一点，且BD=2AD，双曲线y= $\text{[math]}$ （k＞0）经过点D，交BC于点E．

综合题普通

综合题困难

小明根据学习函数的经验，对函数y= $\text{[math]}$ x与y= $\text{[math]}$ ，当k＞0时的图象性质进行了探究．

下面是小明的探究过程：

①设直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点N．求证：PM=PN．

证明过程如下，设P（m， $\text{[math]}$ ），直线PA的解析式为y=ax+b（a≠0）．

则 $\text{[math]}$ ，

解得 $\text{[math]}$

∴直线PA的解析式为 $\text{[math]}$

请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明．

②当P点坐标为（1，k）（k≠1）时，判断△PAB的形状，并用k表示出△PAB的面积．

综合题困难