如图，已知矩形纸片ABCD，怎样折叠，能使边AB被三等分？以下是小红的研究过程. 思考过程要使边AB被三等分，若从边DC上考虑，就是要折出DM＝ DC，也就是要折出DM＝ AB，当DB、AM相交于F时，即要折出对角线上的DF＝ DB.那么… 折叠方法和示意图 ①折出DB；对折纸片，使D、B重合，得到的折痕与DB相交于点E；继续折叠纸片，使D、B与E重合，得到的折痕与DB分别相交于点F、G； ②折出AF、CG，分别交边CD、AB于M、Q； ③过M折纸片，使D落在MC上，得到折痕MN，则边AB被N、Q三等分.

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1. 如图，已知矩形纸片ABCD，怎样折叠，能使边AB被三等分？

以下是小红的研究过程.

思考过程

要使边AB被三等分，若从边DC上考虑，就是要折出DM＝ $\text{[math]}$ DC，

也就是要折出DM＝ $\text{[math]}$ AB，

当DB、AM相交于F时，即要折出对角线上的DF＝ $\text{[math]}$ DB.那么…

折叠方法和示意图

①折出DB；对折纸片，使D、B重合，得到的折痕与DB相交于点E；继续折叠纸片，使D、B与E重合，得到的折痕与DB分别相交于点F、G；

②折出AF、CG，分别交边CD、AB于M、Q；

③过M折纸片，使D落在MC上，得到折痕MN，则边AB被N、Q三等分.

(1) 整理小红的研究过程，说明AN＝NQ＝QB；

(2) 用一种与小红不同的方法折叠，使边AB被三等分.（需简述折叠方法并画出示意图）

【考点】

翻折变换（折叠问题）; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．

(1) 求证：△BDE∽△BAC；

(2) 已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．

综合题普通

2. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．动点P从点A出发，沿 $\text{[math]}$ 方向以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，过点P作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 于点Q（点Q与点A、B、C不重合），以 $\text{[math]}$ 为斜边作 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，且点R与点C始终在直线 $\text{[math]}$ 的同侧．设点P运动的时间为t秒．

(1) $\text{[math]}$ 的长是．

(2) 用含t的代数式表示线段 $\text{[math]}$ 的长．

(3) 当点R落在 $\text{[math]}$ 的平分线上时，求t的值．

(4) M为边 $\text{[math]}$ 的中点，点R关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点为N，当直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的边平行时，直接写出此时t的值．

综合题困难

(1) （初步尝试）

如图①，在三角形纸片 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 折叠，使点B与点C重合，折痕为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系为；

(2) （思考说理）

如图②，在三角形纸片 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 折叠，使点B与点C重合，折痕为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

(3) 如图③，在三角形纸片 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿过顶点 $\text{[math]}$ 的直线折叠，使点B落在边 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处，折痕为 $\text{[math]}$ .

①求线段 $\text{[math]}$ 的长；

②若点O是边 $\text{[math]}$ 的中点，点P为线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠得到 $\text{[math]}$ ，点A的对应点为点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点F，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

综合题困难