以的两边、为边，向外作正方形和正方形，连接，过点作于，延长交于点．

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1. 以 $\text{[math]}$ 的两边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为边，向外作正方形 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

　

(1) 如图1，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，易证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2， $\text{[math]}$ ；如图3， $\text{[math]}$ ，（1）中结论，是否成立，若成立，选择一个图形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由．

【考点】

三角形全等及其性质; 正方形的性质; 等腰直角三角形; 三角形全等的判定-AAS;

【答案】

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综合题困难

1. 下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 交正方形外角的平分线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．求证 $\text{[math]}$ ．（提示：取 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．）

(1) 请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件：；

(2) 如图1，若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上任意一点（不与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合），其他条件不变．求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 在（2）的条件下，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 为何值时，四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形，并给予证明．

综合题普通

2. 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上两点， $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线，求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

综合题普通

3. 已知正方形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点．

(1) 如图1，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 的垂线分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个四边形，使写出的每个四边形的面积都相等且都等于正方形面积的 $\text{[math]}$ ．

综合题困难