点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和BCFG，连接AF、BD.

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1. 点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和BCFG，连接AF、BD.

(1) 如图①，AF与BD的数量关系和位置关系分别为；

(2) 将正方形BCFG绕着点C顺时针旋转α角(0°＜α＜360°)，

①如图②，第（1）问的结论是否仍然成立？请说明理由.

②若AC=4，BC=2 $\text{[math]}$ ，当正方形BCFG绕着点C顺时针旋转到点A、B、F三点共线时，求DB的长度.

【考点】

勾股定理; 正方形的性质; 旋转的性质; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，四边形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均为正方形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数及关系和位置关系，并说明理由．

(2) 在正方形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转的过程中，（1）的结论依旧成立，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点共线时，求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题普通

(1) 【发现证明】

如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且∠EAF＝45°，求证：EF＝DF+BE.

小明发现，当把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合时能够证明，请你给出证明过程.

(2) 【类比引申】①如图2，在正方形ABCD中，如果点E，F分别是CB，DC延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程.

②如图3，如果点E，F分别是BC，CD延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则EF，BE，DF之间的数量关系是（不要求证明）

(3) 【联想拓展】如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE＝3 $\text{[math]}$ ，求AF的长.

综合题普通

3. 如图，点 $\text{[math]}$ 在正方形 $\text{[math]}$ 对角线 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的度数；

(3) 经探究， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三条线段满足某种数量关系，请直接写出它们之间的关系式．

综合题困难