下面是小华同学设计的“作三角形的高线”的尺规作图的过程．已知：如图1，△ABC ．求作：AB边上的高线．作法：如图2， ①分别以A ， C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点D ， E； ② 作直线DE ，交AC于点F； ③ 以点F为圆心，FA长为半径作圆，交AB的延长线于点M； ④ 连接CM ．则CM 为所求AB边上的高线．根据上述作图过程，回答问题：

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1. 下面是小华同学设计的“作三角形的高线”的尺规作图的过程．

已知：如图1，△ABC ．

求作：AB边上的高线．

作法：如图2，

①分别以A ， C为圆心，大于 $\text{[math]}$ 长

为半径作弧，两弧分别交于点D ， E；

② 作直线DE ，交AC于点F；

③ 以点F为圆心，FA长为半径作圆，交AB的延长线于点M；

④ 连接CM ．

则CM 为所求AB边上的高线．

根据上述作图过程，回答问题：

(1) 用直尺和圆规，补全图2中的图形；

(2) 完成下面的证明：

证明：连接DA ， DC ， EA ， EC ，

∵由作图可知DA=DC =EA=EC ，

∴DE是线段AC的垂直平分线．

∴FA=FC ．

∴AC是⊙F的直径．

∴∠AMC=°（）（填依据），

∴CM⊥AB ．

即CM就是AB边上的高线．

【考点】

圆周角定理; 尺规作图的概念;

【答案】

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作图题普通

1. 问题：如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，点C在 $\text{[math]}$ 内，请仅用无刻度的直尺，作出 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ 边上的高.

小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．

作法：如图，

①延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点D，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E；

②分别连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 并延长相交于点F；

③连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点H．

所以线段 $\text{[math]}$ 即为 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ 边上的高．

(1) 根据小芸的作法，补全图形；

(2) 完成下面的证明．

证明：∵ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，点D，E在 $\text{[math]}$ 上，

∴ $\text{[math]}$ _ ▲ _°．（）（填推理的依据）

∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

∴ $\text{[math]}$ ， _▲_ 是 $\text{[math]}$ 的两条高线．

∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所在直线交于点F，

∴直线 $\text{[math]}$ 也是 $\text{[math]}$ 的高所在直线．

∴ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ 边上的高．

作图题普通

2. 如图，点A ， B在 $\text{[math]}$ 上，点O是 $\text{[math]}$ 的圆心，请你仅用无刻度的直尺，在图1和图2中分别画出以点B为顶点，与 $\text{[math]}$ 互余的圆周角（保留作图痕迹）

图1 图2

(1) 图1中，点C在 $\text{[math]}$ 上；

(2) 图2中，点C在 $\text{[math]}$ 内.

作图题普通

3. 如图， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 均为 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ，请你用无刻度的直尺按下列要求作图．

(1) 在图1中，在圆上取点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ；

(2) 在图2中，作出 $\text{[math]}$ 的一个余角．

作图题普通