如图，在Rt 中，，以斜边上的中线为直径作⊙O ，与交于点M，与的另一个交点为E，过点M作⊙O的切线交于点N．

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1. 如图，在Rt $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以斜边 $\text{[math]}$ 上的中线 $\text{[math]}$ 为直径作⊙O ，与 $\text{[math]}$ 交于点M，与 $\text{[math]}$ 的另一个交点为E，过点M作⊙O的切线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点N．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若⊙O的直径为5， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

切线的性质; 圆的综合题; 锐角三角函数的定义;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．在同一平面内， $\text{[math]}$ 内部一点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离都等于 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数），到点 $\text{[math]}$ 的距离等于 $\text{[math]}$ 的所有点组成图形 $\text{[math]}$ ．

(1) 直接写出 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 连接 $\text{[math]}$ 并延长，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

①求证： $\text{[math]}$ ；

②求直线 $\text{[math]}$ 与图形 $\text{[math]}$ 的公共点个数．

综合题普通

2. 已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D．

(1) 如图①，若∠AOP=65°，求∠C的大小；

(2) 如图②，连接BD，若BD∥AC，求∠C的大小．

综合题普通

3. 已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．

(1) 如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN=80°，求∠ACB的度数：

(2) 如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请说明理由；

(3) 若PC交⊙O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示），

综合题困难