问题背景

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1. 问题背景

(1) 如图（1）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都是等边三角形， $\text{[math]}$ 可以由 $\text{[math]}$ 通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小．

(2) 尝试应用

如图（2）．在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，分别以AC ， AB为边，作等边 $\text{[math]}$ 和等边 $\text{[math]}$ ，连接ED ，并延长交BC于点F ，连接BD ．若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

(3) 拓展创新

如图（3）．在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将线段AC绕点A顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段AP ，连接PB ，直接写出PB的最大值．

【考点】

旋转的性质; 三角形的综合;

【答案】

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综合题困难

1. 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，D为BC边上一点（不与点B，C重合）．将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接EC，则：

(1) ① $\text{[math]}$ 的度数是；

②线段AC，CD，CE之间的数量关系是．

(2) 如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请写出 $\text{[math]}$ 的度数及线段AD，BD，CD之间的数量关系，并说明理由；

(3) 如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请直接写出线段AD的长度．

综合题困难

2. 如图1 ，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上一点(不与点 $\text{[math]}$ 重合)，将线段 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) （发现问题）

如图1 ，通过图形旋转的性质，可知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 度；

(2) （解决问题）

如图1，证明 $\text{[math]}$ ；

(3) （拓展延伸）

如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 外一点，且 $\text{[math]}$ ，仍将线段 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

若 $\text{[math]}$ 求的 $\text{[math]}$ 长．

综合题困难

3. 如图， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 重合， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，当点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上时，得出结论： $\text{[math]}$ ；直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的位置关系是；

(2) 如图2，将图1中的 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转一周的过程中，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其所在直线相交于点 $\text{[math]}$ ．

①（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，说明理由．

②当 $\text{[math]}$ 的长度最大时，求线段 $\text{[math]}$ 的长度．

综合题困难