如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线交于B，C两点．

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1. 如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线 $\text{[math]}$ 交于B，C两点．

(1) 求抛物线的解析式及点C的坐标；

(2) 求△ABC的面积；

(3) 若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题困难

1. 二次函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的图像经过点A（2，4）、B（5，0）和O（0，0）．

(1) 求二次函数的解析式；

(2) 联结AO，过点B作BC⊥AO于点C，与该二次函数图象的对称轴交于点P，联结AP，求∠BAP的余切值；

(3) 在（2）的条件下，点M在经过点A且与x轴垂直的直线上，当 $\text{[math]}$ AMO与 $\text{[math]}$ ABP相似时，求点M的坐标．

综合题困难

2. 已知抛物线y=mx²-2mx+3（m<0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=3OA．

(1) 求抛物线的解析式：

(2) 若M，N是第一象限的抛物线上不同的两点，且ΔBCN的面积恒小于 $\text{[math]}$ BCM的面积，求点M的坐标；

(3) 若D为抛物线的顶点，P为第二象限的抛物线上的一点，连接BP，DP，分别交y轴于E，F，若EF= $\text{[math]}$ OC，求点P的坐标．

综合题困难

3. 如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y=ax²+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴为直线x=2．

(1) 求该抛物线的解析式；

(2) 连接PB、PC，求△PBC的面积；

(3) 连接AC，在x轴上是否存在一点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

综合题困难