已知△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE=∠BAC=90°，P为AE的中点，连接DP ．

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1. 已知△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE=∠BAC=90°，P为AE的中点，连接DP ．

(1) 如图1，点A ， B ， D在同一条直线上，直接写出DP与AE的位置关系；

(2) 将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转，当AD落在图2所示的位置时，点C ， D ， P恰好在同一条直线上．

①在图2中，按要求补全图形，并证明∠BAE=∠ACP；

②连接BD ，交AE于点F ．判断线段BF与DF的数量关系，并证明．

【考点】

三角形的综合; 三角形-动点问题;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .点P从点A出发，沿线段 $\text{[math]}$ 以每秒4个单位长度的速度向终点B匀速运动.当点P不与点A、点B重合时，过点P作 $\text{[math]}$ ，其中点Q在 $\text{[math]}$ 上方， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为邻边作 $\text{[math]}$ .设点P运动的时间为t（秒）.

(1) 边 $\text{[math]}$ 的长为；点C到边 $\text{[math]}$ 的距离为.

(2) 当点F落在边 $\text{[math]}$ 上时，求 $\text{[math]}$ 的周长.

(3) 设线段 $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 交于点M，线段 $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 交于点N.当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长.

(4) 连结 $\text{[math]}$ ，沿直线 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 剪开，当剪开的两部分可以拼成一个不重叠无缝隙的三角形时，直接写出t的值.

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2. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P在边 $\text{[math]}$ 上（点P与点C不重合），连结 $\text{[math]}$ ，过点C作 $\text{[math]}$ 射线 $\text{[math]}$ 于点Q．

(1) 当点Q在 $\text{[math]}$ 内部时，求 $\text{[math]}$ 长的取值范围．

(2) 连结 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 长的最小值为．

(3) 当 $\text{[math]}$ 是等腰三角形时，求 $\text{[math]}$ 的面积．

(4) 当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

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3. 在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．

(1) $\text{[math]}$ 是边长为3的等边三角形，E是边 $\text{[math]}$ 上的一点，且 $\text{[math]}$ ，小亮以 $\text{[math]}$ 为边作等边三角形 $\text{[math]}$ ，如图①，求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) $\text{[math]}$ 是边长为3的等边三角形，E是边 $\text{[math]}$ 上的一个动点，小亮以 $\text{[math]}$ 为边作等边三角形 $\text{[math]}$ ，如图②，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；

(3) $\text{[math]}$ 是边长为3的等边三角形，M是高 $\text{[math]}$ 上的一个动点，小亮以 $\text{[math]}$ 为边作等边三角形 $\text{[math]}$ ，如图③，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长．

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