如图，矩形ABCD中，，点E是边AD的中点，点F是对角线BD上一动点， .连结EF，作点D关于直线EF的对称点P.

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1. 如图，矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ，点E是边AD的中点，点F是对角线BD上一动点， $\text{[math]}$ .连结EF，作点D关于直线EF的对称点P.

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求DF的长.

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求DF的长.

(3) 直线PE交BD于点Q，若 $\text{[math]}$ 是锐角三角形，求DF长的取值范围.

【考点】

含30°角的直角三角形; 矩形的性质; 轴对称的性质; 锐角三角函数的定义;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，点 $\text{[math]}$ 分别在矩形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题普通

2. 如图，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tanB= $\text{[math]}$ ．

(1) 求BC的长；

(2) 利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据： $\text{[math]}$ =1.4， $\text{[math]}$ =1.7， $\text{[math]}$ =2.2）

综合题普通

3. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2 $\text{[math]}$ ，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．

(1) 填空：点B的坐标为；

(2) 是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；

(3) ①求证： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．

综合题困难