如图，在矩形中，是边上一点，，，垂足为 .将四边形绕点顺时针旋转，得到四边形 . 所在的直线分别交直线于点，交直线于点，交于点 . 所在的直线分别交直线于点，交直线于点，连接交于点 .

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1. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ .将四边形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到四边形 $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ 所在的直线分别交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ 所在的直线分别交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .

(1) 如图1，求证：四边形 $\text{[math]}$ 是正方形；

(2) 如图2，当点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 重合时.

①求证： $\text{[math]}$ ；

②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 如图3，若 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

【考点】

相似三角形的判定与性质; 锐角三角函数的定义; 四边形-动点问题;

【答案】

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综合题困难

1. 在矩形ABCD中，AB=4，点P是直线CD上(不与点C重合)的动点，连结BP，过点B作BP的垂线分别交直线AD、直线CD于点E、F连结PE。

(1) 如图，当AD=4，点P是CD的中点时，求tan ∠EBA 的值；

①若△DPE与△BPE相似，求DP的长。

②若△PEF是等腰三角形，求DE的长。

综合题困难

2. 如图，四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点P从点A沿着 $\text{[math]}$ 运动，同时点Q从点D沿着 $\text{[math]}$ 运动，它们同时到达终点，设点P运动的路程为x．AQ的长度为y，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，求AD，BC的长和 $\text{[math]}$ ．

(2) 如图2，连接PQ，设 $\text{[math]}$ 的面积为S，求S与x的关系式

(3) 如图3，当PQ与四边形ABCD其中一边垂直时，求所有满足要求的x的值．

综合题困难

3. $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于D ， $\text{[math]}$ 于E ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于F

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 求 $\text{[math]}$ （用含m的代数式表示）；

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的最大值．

综合题困难