已知，四边形是菱形，延长到点，使，连接、相交于点，连接．

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1. 已知，四边形 $\text{[math]}$ 是菱形，延长 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 点，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 点，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 点．

①已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

②点 $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 是锐角三角形，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

【考点】

菱形的性质; 四边形的综合;

【答案】

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综合题普通

1. 在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是射线 $\text{[math]}$ 上一动点，以 $\text{[math]}$ 为边向右侧作等边 $\text{[math]}$ ．

（1）如图1，当点E在菱形 $\text{[math]}$ 内部或边上时，连接 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是____， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系是____；

(1) 当点E在菱形 $\text{[math]}$ 外部时（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（请结合图2的情况予以证明或说理．）

(2) 如图3，当点P在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上时，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积．

综合题困难

2. 已知：菱形 $\text{[math]}$ 中，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 如图2，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 如图3，在（2）的条件下，分別连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求菱形 $\text{[math]}$ 的面积．

综合题困难

3. 如图①，已知菱形ABCD的边长为2cm， $\text{[math]}$ ，点M从点D开始向点C以1cm/s的速度运动，同时点N从点C开始以相同的速度向点B运动，连接AM，AN，MN，设运动时间为xs；

(1) 试判断 $\text{[math]}$ 的形状，请说明理由；

(2) 当x为多少时，点A到MN的距离h最小？请直接写出满足条件的x和h的值；

(3) 在（2）的条件下，连接对角线AC，BD交于点O，在图②画出图形并判断以O，N，M，D为顶点的四边形的形状，请说明理由．

综合题困难