如图1，在中，，是的一条角平分线，为的外角的平分线，，垂足为 .已知， .

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1. 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的一条角平分线， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的外角 $\text{[math]}$ 的平分线， $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ .已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 是矩形；

(2) 如图2，延长 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .求 $\text{[math]}$ 的长.

(3) 如图3，在（2）问的条件下， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上的一个动点，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 延长线于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，求点 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 点运动到 $\text{[math]}$ 点时，点 $\text{[math]}$ 所经过的路径长.

【考点】

三角形的综合; 三角形-动点问题;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 于点D， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点F以每秒1个单位长度的速度由点A向点C匀速运动，到达C点即停止运动，G，H分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ .设点F运动的时间为t秒.

(1) 判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系和数量关系，并求出 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 若 $\text{[math]}$ .

①点F由点A向点C匀速运动的过程中，则线段 $\text{[math]}$ 所扫过区域的面积为 ▲ ；

②若 $\text{[math]}$ 是等腰三角形，直接写出t的值.

综合题困难

2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，动点P从点B出发，以每秒2个单位长的速度，沿射线BC运动，设运动时间为t秒，请解答以下问题：

(1) BC边的长为；

(2) 当△ABP为直角三角形时，求t的值，写出求解过程；

(3) 当△ABP为等腰三角形时，直接写出t的值．

综合题普通

3. 如图， $\text{[math]}$ ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝4cm，点Q为从点B出发，以每秒1cm的速度沿B－A向点A运动，同时，点P从点B出发，沿折线BC－CA向点A运动，速度为2cm/s，其中一个点到达终点，另一个点也停止运动．设 $\text{[math]}$ BPQ的面积为S，P、Q的运动时间为t．

(1) AB＝，AC＝；

(2) 当点Q在运动过程中，连接CQ，线段CQ能否有最小值；若有最小值，请求出这个最小值及此时时间t的值；

(3) 求P、Q两点在运动过程中， $\text{[math]}$ BPQ的面积S与运动时间t的数量关系式．

综合题困难