如图，已知，是的直径，，与的边，分别交于点，，连接并延长，与的延长线交于点， .

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1. 如图，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长，与 $\text{[math]}$ 的延长线交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 在（2）的条件下，若 $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

【考点】

平行线的判定与性质; 平行四边形的性质; 圆的综合题; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧 $\text{[math]}$ 的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若⊙O的半径为 $\text{[math]}$ ， DE＝1，求AE的长度；

(3) 在（2）的条件下，求 $\text{[math]}$ 的面积．

综合题困难

2. 已知AC是平行四边形ABCD的一条对角线，且AB=AC，⊙O是 $\text{[math]}$ 的外接圆，CD与⊙O的另一个交点为E，连结AE.

(1) 当点E在线段CD上时，如图1.

①求证： $\text{[math]}$ ∽ $\text{[math]}$

②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求⊙O的半径.

(2) 当点E在直线CD上时，过点E作EH⊥AB于H，直线EH与直线BC交于点F. 如图2，若 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值.

综合题困难

3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中，直径 $\text{[math]}$ 与弦 $\text{[math]}$ 互相垂直，垂足为H，点E是弧 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，过点E作直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点M，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点G，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F，且 $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 在（2）的条件下，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

综合题困难