如图，在中，，，，D，E分别是AB，BC边上的动点，以BD为直径的交BC于点F.

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1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，D，E分别是AB，BC边上的动点，以BD为直径的 $\text{[math]}$ 交BC于点F.

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 当 $\text{[math]}$ 是等腰三角形且 $\text{[math]}$ 是直角三角形时，求AD的长.

【考点】

直角三角形全等的判定-HL; 等腰三角形的性质; 勾股定理; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线DE⊥AB于点E。

(1) 求证：△BDE∽△CAD。

(2) 若AB=13，BC=10，求线段DE的长

综合题普通

2. 如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒．

(1) 在运动过程中，求P，Q两点间距离的最大值；

(2) 经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；

(3) P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得△PQC为等腰三角形？若存在，求出此时的t值；若不存在，请说明理由（ $\text{[math]}$ ≈2.24，结果保留一位小数）.

综合题普通

3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P从点B出发，沿BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿折线 $\text{[math]}$ 以每秒5个单位长度的速度运动，到达点A时，点Q停止1秒，然后继续运动．分别连结PQ、BQ．设 $\text{[math]}$ 的面积为S，点P的运动时间为 $\text{[math]}$ 秒．

(1) 求点A与BC之间的距离．

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值．

(3) 求S与 $\text{[math]}$ 之间的函数关系式．

(4) 当线段PQ与 $\text{[math]}$ 的某条边垂直时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

综合题困难