如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点P是线段BC延长线上任意一点，以AP为直角边作等腰直角△APD，AD与BC相交于点K，且∠APD＝90°，连接BD.

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1. 如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点P是线段BC延长线上任意一点，以AP为直角边作等腰直角△APD，AD与BC相交于点K，且∠APD＝90°，连接BD.

(1) 求证： $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ；

(2) 在点P运动过程中，试问∠PBD的度数是否会变化？若不变，请求出它的度数，若变化，请说明它的变化趋势；

(3) 已知AB＝ $\text{[math]}$ ，设CP＝x，S_△PBD＝S，试求S关于x的函数表达式.

【考点】

三角形的面积; 勾股定理; 相似三角形的判定与性质; 等腰直角三角形;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向终点A运动，P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，连接PQ，设运动时间为t（t＞0）秒.

(1) t为何值时，△AQP与△ABC相似？

(2) t为何值时，△AQP的面积为0.8？

综合题普通

2. 如图①， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .动点 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度由 $\text{[math]}$ 出发沿线段 $\text{[math]}$ 向 $\text{[math]}$ 运动，动点 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度由 $\text{[math]}$ 出发沿射线 $\text{[math]}$ 运动.当点 $\text{[math]}$ 运动 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 开始运动； $\text{[math]}$ 点到达终点时， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 一起停止.设点 $\text{[math]}$ 运动的时间为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数关系图像如图②所示.

(1) 点 $\text{[math]}$ 运动的速度 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；

(2) 当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ；

(3) 是否存在 $\text{[math]}$ ，使得直线 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 的周长与面积同时平分？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由.

综合题普通

3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是2cm/秒，点Q的速度是1cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为t秒．

(1) 用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；

(2) 当t＝2秒时，P，Q两点之间的距离是多少？

(3) 当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？

综合题困难