如图，AB是半圆O的直径，AC是半圆内一条弦，点D是弧AC的中点，DB交AC于点G.过点A作半圆的切线与BD的延长线交于点M，连接AD，点E是AB上的一动点，DE与AC相交于点F.

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1. 如图，AB是半圆O的直径，AC是半圆内一条弦，点D是弧AC的中点，DB交AC于点G.过点A作半圆的切线与BD的延长线交于点M，连接AD，点E是AB上的一动点，DE与AC相交于点F.

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 填空：①当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；

②若 $\text{[math]}$ 的度数为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，四边形DEBC是菱形.

【考点】

等边三角形的判定与性质; 菱形的性质; 圆周角定理; 切线的性质; 直角三角形斜边上的中线;

【答案】

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综合题困难

1. 在 $\text{[math]}$ 中，弦 $\text{[math]}$ 与直径 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ .

(1) 如图1，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的大小；

(2) 如图2，若 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的切线，与 $\text{[math]}$ 的延长线相交于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的大小.

综合题普通

2. 已知 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，弦 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交， $\text{[math]}$ .

(1) 如图①，若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的大小；

(2) 如图②，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的切线，与 $\text{[math]}$ 的延长线交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的大小.

综合题普通

3. 如图， $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 的直径，点 $\text{[math]}$ 在圆 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的延长线上， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线.

(1) 证明： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ 的半径是5， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

综合题普通