如图，已知点P在矩形ABCD外，∠APB=90°，PA=PB，点E，F分别在AD，BC上运动，且∠EPF=45°，连接EF．

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1. 如图，已知点P在矩形ABCD外，∠APB=90°，PA=PB，点E，F分别在AD，BC上运动，且∠EPF=45°，连接EF．

(1) 求证：△APE∽△BFP；

(2) 当∠PEF=90°，AE=2时，

①求AB的长；

②直接写出EF的长；

(3) 直接写出线段AE、BF、EF之间的数量关系．

【考点】

矩形的性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题普通

1. 综合与实践﹣四边形旋转中的数学

“智慧”数学小组在课外数学活动中研究了一个问题，请帮他们解答．

任务一：如图1，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E，F分别为AB，AD边的中点，四边形AEGF为矩形，连接CG．

(1) 请直接写出CG的长是．

(2) 如图2，当矩形AEGF绕点A旋转（比如顺时针旋转）至点G落在边AB上时，请计算DF与CG的长，通过计算，试猜想DF与CG之间的数量关系．

(3) 当矩形AEGF绕点A旋转至如图3的位置时，（2）中DF与CG之间的数量关系是否还成立？请说明理由．

任务二：“智慧”数学小组对图形的旋转进行了拓展研究，如图4，在▱ABCD中，∠B=60°，AB=6，AD=8，E，F分别为AB，AD边的中点，四边形AEGF为平行四边形，连接CG．“智慧”数学小组发现DF与CG仍然存在着特定的数量关系．

(4) 如图5，当▱AEGF绕点A旋转（比如顺时针旋转），其他条件不变时，“智慧”数学小组发现DF与CG仍然存在着这一特定的数量关系．请你直接写出这个特定的数量关系．

综合题困难

2. 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，矩形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 轴上，且点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上的动点，以 $\text{[math]}$ 为一边在其右侧作矩形 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 证明： $\text{[math]}$ ；

(2) 当点 $\text{[math]}$ 点坐标为 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(3) 证明点 $\text{[math]}$ 的运动范围是一条线段，并求该线段的长.

综合题困难

3. 如图1，直线 $\text{[math]}$ 与坐标轴的正半轴分别交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点（点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左边），过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 当点 $\text{[math]}$ 恰好是 $\text{[math]}$ 中点时，求此时点 $\text{[math]}$ 的横坐标；

(2) 如图2，连接 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 如图3，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，点 $\text{[math]}$ 恰好落在边 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处，求此时反比例函数的解析式．

综合题困难