如图，锐角△ABC，AC＜AB＜BC，点P在线段BC上.

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1. 如图，锐角△ABC，AC＜AB＜BC，点P在线段BC上.

(1) 尺规作图：求作∠APB＝90°；（保留作图痕迹）

(2) 在（1）的条件下，若AB＝6，AC＝5，sin B＝ $\text{[math]}$ ，求BC的长.

【考点】

勾股定理; 锐角三角函数的定义; 尺规作图-垂直平分线;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，已知△ABC，∠C＝ $\text{[math]}$ ．

(1) 请用尺规作图，在BC边上找一点D，使DA＝DB；（不写作法，保留作图痕迹）

(2) 在（1）的条件下，若BC＝4， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题普通

2. 如图，我国某海域上有 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两个小岛， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的正东方向．有一艘渔船在点 $\text{[math]}$ 处捕鱼，在 $\text{[math]}$ 岛测得渔船在东北方向上，在 $\text{[math]}$ 岛测得渔船在北偏西 $\text{[math]}$ 的方向上，且测得 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两处的距离为 $\text{[math]}$ 海里．

(1) 求 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两处的距离；

(2) 突然，渔船发生故障，而滞留 $\text{[math]}$ 处等待救援．此时，在 $\text{[math]}$ 处巡逻的救援船立即以每小时 $\text{[math]}$ 海里的速度沿 $\text{[math]}$ 方向前往 $\text{[math]}$ 处，测得 $\text{[math]}$ 在小岛 $\text{[math]}$ 的北偏西 $\text{[math]}$ 方向上距 $\text{[math]}$ 岛 $\text{[math]}$ 海里处．求救援船到达 $\text{[math]}$ 处所用的时间（结果保留根号）．

综合题普通

3. 问题呈现：如图1，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A ， B和C ， D ， AB和CD相交于点P ，求tan∠BPD 的值．

方法归纳：利用网格将线段CD平移到线段BE ，连接AE ，得到格点△ABE ，且AE⊥BE ，则∠BPD 就变换成Rt△ABE 中的∠ABE ．

(1) 问题解决：

图1中tan∠BPD的值为；

(2) 如图2，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A ， B 和 C ， D ， AB与CD交于点P ，求cos ∠BPD的值；

(3) 思维拓展：

如图3，AB⊥CD ，垂足为B ，且AB＝4BC ， BD＝2BC ，点E在AB上，且AE＝BC ，连接AD交CE的延长线于点P ，利用网格求sin∠CPD ．

综合题困难