如图，在正方形ABCD中，E、F、G分别是AB、BC、CD边上的点，AF和EG交于点H．现在提供三个关系：①AF⊥EG；②AH＝HF；③AF＝EG．

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1. 如图，在正方形ABCD中，E、F、G分别是AB、BC、CD边上的点，AF和EG交于点H．现在提供三个关系：①AF⊥EG；②AH＝HF；③AF＝EG．

(1) 从三个关系中选择一个作为条件，一个作为结论，形成一个真命题．写出该命题并证明；

(2) 若AB＝3，EG垂直平分AF，设BF＝n．

①求EH：HG的值（含n的代数式表示）；

②连接FG，点P在FG上，当四边形CPHF是菱形时，求n的值．

【考点】

勾股定理; 正方形的性质; 四边形的综合;

【答案】

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综合题困难

1. 定义提出：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”

(1) 如图1，在3x3的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段AB、BC的端点均在格点上，在图1的方格纸中画出一个等邻边四边形ABCD，要求：点D在格点上；

(2) 如图2，在等邻边四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ，求CD的长；

(3) 如图3，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴正半轴上，已知OC=4，0A=6，D是OA的中点，在矩形OABC内或边上，是否存在点，使四边形OCED为面积最大的“等邻边四边形”，若存在，请求出四边形OCED的最大面积及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.

综合题困难

2. 在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在射线 $\text{[math]}$ 上（不与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合），连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，并截取 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 同侧），连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上．

①依题意补全图1；

②用等式表示线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并证明；

(2) 如图2，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边的延长线上，其他条件均不变，直接写出线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系．

综合题困难

3. △ABC中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D为直线BC上一动点（（点D不与B，C重合）），以AD为边的AD右侧作正方形ADEF，连接CF．

(1) 观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，

①BC与CF的位置关系为：．

②BC，CD，CF之间的数量关系为；（将结论直接写在横线上）

(2) 数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．

(3) 拓展延伸：如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于G，连接GE．若已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请直接写出GE的长．

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